１２番目のフィボナッチ数１４４は（１を除いて）フィボナッチ数でかつ平方数である知られている唯一の数である．このタイプの数ｎ^2はフィボナッチ数列のｎ番目となることが知られている．

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　Ｆn＝｛｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n｝／√５

　Ｆn＝（φ^n−｛−１／φ）^n｝／√５

　Ｆn-1＝（φ^n-1−｛−１／φ）^n-1｝／√５

　Ｆn-2＝（φ^n-2−｛−１／φ）^n-2｝／√５

Ｆn-1＋Ｆn-2

＝｛（φ＋１）φ^n-2−（−１／φ＋１）｛−１／φ）^n-2｝／√５

＝｛φ^2φ^n-2−１／φ^2｛−１／φ）^n-2｝／√５

（φ^n−｛−１／φ）^n｝／√５＝Ｆn

ｎ→∞のとき，｛−１／φ）^n→０であるから

　Ｆn〜φ^n／√５〜ｎ^2

となるためには

　　ｎｌｏｇφ−１／２・ｌｏｇ５＝２・ｌｏｇｎ

　どうやって証明すればよいのか？

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［おまけ］１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，・・・

　１１番目のフィボナッチ数８９の逆数はフィボナッチ数列を１桁ずつずらした形になっている．

　１／８９＝０．０１１２３５９５５０５６１８・・・

＝０．０１

＋０．００１

＋０．０００２

＋０．００００３

＋０．０００００５

＋０．００００００８

＋０．００００００１３

＋０．０００００００２１

＋０．００００００００３４

＋０．０００００００００５５

＋０．００００００００００８９

＋０．００００００００００１４４

＋０．０００００００００００２３３

８９＝１００−１０−１であって，

１００ｘ−１０ｘ−ｘ＝８９ｘ＝１→ｘ＝１／８９

８９は１１番目のフィボナッチ数である．

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