■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その５７，杉岡幹生）
最初にゼータ分割のこれまでの結果を示します。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
リーマンゼータζ(s)、導手N＝1 ⇒ n分割可能である。
L(s) 虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4 ⇒ n分割可能である。
LA(s) 虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3 ⇒ 1～10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。
LN(s) 実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
LP(s) 虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7 ⇒ 3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。
L2(s) 虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8 ⇒ 2/4/6/8分割可能である。
注記：nは1以上の整数
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
今回は（その５５）、（その５６）の続きで、Q(√-2)ゼータL2(1)の１０分割を調べます。
L2(1)＝1 +1/3 -1/5 -1/7 +1/9 +1/11 -/13 -1/15 +1/17 +1/19 -1/21 -1/23 +・・ ------①
L2(s)はＬ(χ,ｓ)の一種の虚2次体Q(√-2)のゼータ関数で、導手N=8を持つ。次のＬ(χ,ｓ)のs＝1の場合がL2(1)です。
Ｌ(χ,s)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +・・・におけるL2(s)のディリクレ指標χ(n)は次の通り。
n≡1 or 3 mod 8のときχ(n)＝1, n≡5 or 7 mod 8のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。
L2(1)の値は（その５５）で示した通り、π√2/4 となります。
L2(1)＝1 +1/3 -1/5 -1/7 +1/9 +1/11 -/13 -1/15 +1/17 +1/19 -1/21 -1/23 +・・＝π√2/4 -----②
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
それでは、L2(1)の１０分割を示します。
■L2(1)１０分割
A1＝ 1 -1/39 +1/41 -1/79 +1/81 -1/119 +・・ ＝(π/40)tan(19π/40)
A2＝ 1/3 -1/37 +1/43 -1/77 +1/83 -1/117 +・・ ＝(π/40)tan(17π/40)
A3＝ 1/5 -1/35 +1/45 -1/75 +1/85 -1/115 +・・ ＝(π/40)tan(15π/40)
A4＝ 1/7 -1/33 +1/47 -1/73 +1/87 -1/113 +・・ ＝(π/40)tan(13π/40)
A5＝ 1/9 -1/31 +1/49 -1/71 +1/89 -1/111 +・・ ＝(π/40)tan(11π/40)
A6＝ 1/11 -1/29 +1/51 -1/69 +1/91 -1/109 +・・ ＝(π/40)tan(9π/40)
A7＝ 1/13 -1/27 +1/53 -1/67 +1/93 -1/107 +・・ ＝(π/40)tan(7π/40)
A8＝ 1/15 -1/25 +1/55 -1/65 +1/95 -1/105 +・・ ＝(π/40)tan(5π/40)
A9＝ 1/17 -1/23 +1/57 -1/63 +1/97 -1/103 +・・ ＝(π/40)tan(3π/40)
A10＝1/19 -1/21 +1/59 -1/61 +1/99 -1/101 +・・ ＝(π/40)tan(π/40)
A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6 -A7 -A8 +A9 +A10＝L2(1) であることを確認ください。上記１０式はじつは（その２１）と同じです。これら１０式に対しExcelマクロで数値検証も行ないましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。
また右辺値の和”A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6 -A7 -A8 +A9 +A10”は、②のπ√2/4 に一致することも確認しました。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。
1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)
xに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。
xに19/20を代入すると、L2(1)１０分割のA1が得られる。
xに17/20を代入すると、L2(1)１０分割のA2が得られる。
xに15/20を代入すると、L2(1)１０分割のA3が得られる。
xに13/20を代入すると、L2(1)１０分割のA4が得られる。
xに11/20を代入すると、L2(1)１０分割のA5が得られる。
xに 9/20を代入すると、L2(1)１０分割のA6が得られる。
xに 7/20を代入すると、L2(1)１０分割のA7が得られる。
xに 5/20を代入すると、L2(1)１０分割のA8が得られる。
xに 3/20を代入すると、L2(1)１０分割のA9が得られる。
xに 1/20を代入すると、L2(1)１０分割のA10が得られる。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
L2(1)の１０分割が求まりました。あるものを無視して１０分割が実現されるのではなく、出てきた分身たち全部で１０分割が実現されていてきれいなことです。
さて、ここでも「L2(1)とL(1)は同じ基本パーツから作られている」という事実を確認しておきましょう。
L2(1)１０分割の上記１０式はじつは（その２１）のL(1)１０分割の式と同じです。（その２１）を下記＜付録＞で抜粋したので見てくだい。それらはL2(1)１０分割の式と同じであることがわかります。
L(1)とL2(1)は、基本パーツ（A1, A2, ・・,A10）によって次のように構成されています。
L(1) ＝A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9 -A10
L2(1)＝A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6 -A7 -A8 +A9 +A10
このように全く同じ部品から構成されていて、面白いことです。冒頭の表を更新しておきます。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
リーマンゼータζ(s)、導手N＝1 ⇒ n分割可能である。
L(s) 虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4 ⇒ n分割可能である。
LA(s) 虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3 ⇒ 1～10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。
LN(s) 実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
LP(s) 虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7 ⇒ 3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。
L2(s) 虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8 ⇒ 2/4/6/8/10分割可能である。
注記：nは1以上の整数 以上。（杉岡幹生）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜付録＞
（ゼータの香りの漂う公式の「その２１」より抜粋。一部編集）
L(1)＝1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -15 + ・・＝π/4
■L(1)１０分割
A1＝ 1 -1/39 +1/41 -1/79 +1/81 -1/119 +・・ ＝(π/40)tan(19π/40)
A2＝1/3 -1/37 +1/43 -1/77 +1/83 -1/117 +・・＝(π/40)tan(17π/40)
A3＝1/5 -1/35 +1/45 -1/75 +1/85 -1/115 +・・＝(π/40)tan(15π/40)
A4＝1/7 -1/33 +1/47 -1/73 +1/87 -1/113 +・・ ＝(π/40)tan(13π/40)
A5＝1/9 -1/31 +1/49 -1/71 +1/89 -1/111 +・・ ＝(π/40)tan(11π/40)
A6＝1/11 -1/29 +1/51 -1/69 +1/91 -1/109 +・・ ＝(π/40)tan(9π/40)
A7＝1/13 -1/27 +1/53 -1/67 +1/93 -1/107 +・・ ＝(π/40)tan(7π/40)
A8＝1/15 -1/25 +1/55 -1/65 +1/95 -1/105 +・・ ＝(π/40)tan(5π/40)
A9＝1/17 -1/23 +1/57 -1/63 +1/97 -1/103 +・・ ＝(π/40)tan(3π/40)
A10＝1/19 -1/21 +1/59 -1/61 +1/99 -1/101 +・・ ＝(π/40)tan(π/40)
A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9 -A10＝L(1) であることをご確認ください。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
