調和数列のｎ項までの部分和

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・＋１／ｎ

は，ｎ→∞のとき∞に発散するが，ｎ項の平均値は

　　Ｈn／ｎ→０

となる．

　ｎ→∞のとき，

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・＋１／ｎ　〜　ｌｏｇｎ

だからである．

　また，

　　Ｇn ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・＋１／ｎ

　　　　＋２／１＋２／２＋２／３＋２／４＋２／５＋・・・＋２／ｎ

　　　　＋３／１＋３／２＋３／３＋３／４＋３／５＋・・・＋３／ｎ

　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　　＋ｎ／１＋ｎ／２＋ｎ／３＋ｎ／４＋ｎ／５＋・・・＋ｎ／ｎ

では，ｎ^2項の平均値は

　　Ｇn／ｎ^2→０

となる．

　　Ｇn ＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）｛１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・＋１／ｎ）

＝ｎ（ｎ＋１）／２・｛１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５＋・・・＋１／ｎ）

　ｎ→∞のとき，

　　Ｇn〜ｎ（ｎ＋１）／２・ｌｏｇｎ

　　Ｇn／ｎ^2〜１／２・ｌｏｇｎ

だからである．

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【１】未解決問題

［１］まず初期値［０／１，１／２］からスターン・ブロコット木を作る．

→［０／１，１／２］（１位のスターン・ブロコット数列，項数２）

→［０／１，１／３，１／２］（２位のスターン・ブロコット数列，項数３）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２］（３位のスターン・ブロコット数列，項数５０

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２］（４位のスターン・ブロコット数列，項数９）

→［０／１，１／６，１／５，２／９，１／４，３／１１，２／７，３／１０，１／３，４／１１，３／８，５／１３，２／５，５／１２，３／７，４／９，１／２］（５位のスターン・ブロコット数列，項数１７）

→［０／１，１／７，１／６，２／１１，１／５，３／１４，２／９，３／１３，１／４，４／１５，３／１１，５／１８，２／７，５／１７，３／１０，４／１３，１／３，５／１４，４／１１，７／１９，３／８，８／２１，５／１３，７／１８，２／５，７／１７，５／１２，８／１９，３／７，７／１６，４／９，５／１１，１／２］（６位のスターン・ブロコット数列，項数３３）

→［０／１，１／８，１／７，２／１３，１／６，３／１７，２／１１，３／１６，１／５，４／１９，３／１４，５／２３，２／９，５／２２，３／１３，４／１７，１／４，５／１９，４／１５，７／２６，３／１１，８／２９，５／１８，７／２５，２／７，７／２４，５／１７，８／２７，３／１０，７／２３，４／１３，５／１６，１／３，６／１７，５／１４，９／２５，４／１１，１１／３０，７／１９，１０／２７，３／８，１１／２９，８／２１，１３／３４，５／１３，１２／３１，７／１８，９／２３，２／５，９／２２，７／１７，１２／２９，５／１２，１３／３１，８／１９，１１／２６，３／７，１０／２３，７／１６，１１／２５，４／９，９／２０，５／１１，６／１３，１／２］（７位のスターン・ブロコット数列，項数６５）

［２］区間［０／１，１／２］上のスターン・ブロコット数列（項数ｍ＝２^n-1＋１）を

　　Ｆn＝［α1，α2，・・・，αm］の和

とする．

［３］ｍ項の平均値は

　　Ｆn／ｍ→１／φ^2，　　φ＝（１＋√５）／２

と予測されているが，その真偽はいかに？

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［雑感］原題は，区間［０／１，１／２］上の点α0からの偏差２乗和

　　Ｆ＝Σ（αi−α0）^2＝Σαi^2−２α0Σαi＋ｎα0^2

が最初となるα0を求めよというものであるが，

　　ｄＦ／ｄα0＝−２Σαi＋２ｎα0＝０

　　α0＝Σαi／ｎ

であるから，平均値を求めよとしても等価である．

　平均値はα0＝１／φ^2　？

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