今年うまく解決できた問題として，ハーレーの方程式

　　Σｋ（ｎ＋１−ｋ）ｘ^n-k＝０

に関するものがあげられる．

　このｎ次方程式のすべての解は｜αi｜＝１，すなわち、複素平面の単位円周上にあるが，実数部分の最大値をｃｏｓξとすると，ｎ→∞のとき，

　　ｎξ→５１４．９０７°

に収束するというものである．

　一方，解決できなかった問題に，スターン・ブロコット数列に関するものがある．スターン・ブロコット数列と紛らわしいものにファレイ数列があり，まず，それから説明することにしたい．

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【１】ファレイ数列の生成

　ｎ≧１とする．分母が正でかつｎを越えないようなすべての既約分数を増大する順に並べたものを，位数ｎのファレイ数列と呼ぶ．

　ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものであるが，まず［０／１，１／１］からはじめ，（０＋１）／（１＋１）＝１／２をはじめの２つの分数の間に挿入する．→［０／１，１／１］

漸次，隣接する２項ｐ／ｑとｒ／ｓの間に中間分数

　　（ｐ＋ｒ）／（ｑ＋ｓ）

を挿入する操作を可能な限り続けることによって得られる．

［０／１，１／１］

→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，１／２，２／３，３／４，１／１］（４位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）

→［０／１，１／６，１／５，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，４／５，５／６，１／１］（６位のファレイ数列）

→［・・・，０／１，１／７，１／６，１／５，１／４，２／７，１／３，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，２／３，５／７，３／４，４／５，５／６，６／７，１／１，・・・］（７位のファレイ数列）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）

が得られる．

　位数ｎのファレイ数列の長さは，オイラー関数φ（ｎ）を用いて，

　　１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）

　〜３（ｎ／π）^2〜０．３０３９６ｎ^2

になる．この近似はｎが大きくなるにつれてよくなっていく．

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【２】スターン・ブロコット数列の生成

　ｎ位のスターン・ブロコット数列とは既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものであるが，［０／１，１／１］から始めた場合，まず（０＋１）／（１＋１）＝１／２をはじめの２つの分数の間に挿入する．

→［０／１，１／１］

漸次，隣接する２項ｐ／ｑとｒ／ｓの間に中間分数

　　（ｐ＋ｒ）／（ｑ＋ｓ）

を挿入する操作を可能な限り続けることによって得られる．

［０／１，１／１］（１位のスターン・ブロコット数列，項数２）

→［０／１，１／２，１／１］（２位のスターン・ブロコット数列，項数３）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のスターン・ブロコット数列，項数５）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（４位のスターン・ブロコット数列，項数９）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（５位のスターン・ブロコット数列，項数１７）

→［０／１，１／６，１／５，２／９，１／４，３／１１，２／７，３／１０，１／３，４／１１，３／８，５／１３，２／５，５／１２，３／７，４／９，１／２，５／９，４／７，７／１２，３／５，８／１３，５／８，７／１１，２／３，７／１０，５／７，８／１１，３／４，７／９，４／５，５／６，１／１］（６位のスターン・ブロコット数列，項数３３）

→［０／１，１／７，１／６，２／１１，１／５，３／１４，２／９，３／１３，１／４，４／１５，３／１１，５／１８，２／７，５／１７，３／１０，４／１３，１／３，５／１４，４／１１，７／１９，３／８，８／２１，５／１３，７／１８，２／５，７／１７，５／１２，８／１９，３／７，７／１６，４／９，５／１１，１／２，６／１１，５／９，９／１６，４／７，１１／１９，７／１２，１０／１７，３／５，１１／１８，８／１３，１３／２１，５／８，１２／１９，７／１１，９／１４，２／３，９／１３，７／１０，１２／１７，５／７，１３／１８，８／１１，１１／１５，３／４，１０／１３，７／９，１１／１４，４／５，９／１１，５／６，６／７，１／１］（７位のスターン・ブロコット数列，項数６５）

→［０／１，１／８，１／７，２／１３，１／６，３／１７，２／１１，３／１６，１／５，４／１９，３／１４，５／２３，２／９，５／２２，３／１３，４／１７，１／４，５／１９，４／１５，７／２６，３／１１，８／２９，５／１８，７／２５，２／７，７／２４，５／１７，８／２７，３／１０，７／２３，４／１３，５／１６，１／３，６／１７，５／１４，９／２５，４／１１，１１／３０，７／１９，１０／２７，３／８，１１／２９，８／２１，１３／３４，５／１３，１２／３１，７／１８，９／２３，２／５，９／２２，７／１７，１２／２９，５／１２，１３／３１，８／１９，１１／２６，３／７，１０／２３，７／１６，１１／２５，４／９，９／２０，５／１１，６／１３，１／２，７／１３，６／１１，１１／２０，５／９，１４／２５，９／１６，１３／２３，４／７，１５／２６，１１／１９，１８／３１，７／１２，１７／２９，１０／１７，１３／２２，３／５，１４／２３，１１／１８，１９／３１，８／１３，２１／３４，１３／２１，１８／２９，５／８，１７／２７，１２／１９，１９／３０，７／１１，１６／２５，９／１４，１１／１７，２／３，１１／１６，９／１３，１６／２３，７／１０，１９／２７，１２／１７，１７／２４，５／７，１８／２５，１３／１８，２１／２９，８／１１，１９／２６，１１／１５，１４／１９，３／４，１３／１７，１０／１３，１７／２２，７／９，１８／２３，１１／１４，１５／１９，４／５，１３／１６，９／１１，１４／１７，５／６，１１／１３，６／７，７／８，１／１］（８位のスターン・ブロコット数列，項数１２９）

　位数ｎのスターン・ブロコット数列の長さは，

　　２^n-1＋１

になる．

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