ｙ^2＝ｘ^3＋１，Ｐ（２，３）はこの楕円曲線上の点である．しかし，ここでは，有限体Ｆ5上で考えることにする．

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　　２^2＝２^3＋１，４＝９　　（ｍｏｄ５）

であるから，Ｐ（２，２）はこの楕円曲線上の点である．

［１］２Ｐ

　倍角公式にＰ（２，２），ａ＝０，ｂ＝１を代入すると

　　ｘ3＝（ｘ1^4−２ａｘ1^2−８ｂｘ1＋ａ^2）／４（ｘ1^3＋ａｘ1＋ｂ）

＝０

　　ｙ3＝｛（３ｘ1^2＋ａ）／２ｙ1｝（ｘ1−ｘ3）−ｙ1

＝（１２／４）（２−０）−２＝４　→　２Ｐ（０，４）

［２］３Ｐ＝２Ｐ＋Ｐ，（０，４），（２，２）

　　ｘ3＝｛（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝^2−ｘ1−ｘ2

　　ｘ3＝｛２／２｝^2−２＝−１

　　ｙ3＝｛（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝（ｘ1−ｘ3）−ｙ1

　　ｙ3＝｛−２／２｝（１）−４＝−５　→　３Ｐ（４，０）

［３］４Ｐ＝３Ｐ＋Ｐ，（４，０），（２，２）

　　ｘ3＝｛（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝^2−ｘ1−ｘ2

　　ｘ3＝｛−２／２｝^2−４−２＝−５

　　ｙ3＝｛（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝（ｘ1−ｘ3）−ｙ1

　　ｙ3＝｛−２／２｝（９）＝−９　→　４Ｐ（０，１）

［４］５Ｐ＝４Ｐ＋Ｐ，（０，１），（２，２）

　　ｘ3＝｛（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝^2−ｘ1−ｘ2

　　ｘ3＝｛１／２｝^2−２＝１／４−２

　　ｙ3＝｛（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝（ｘ1−ｘ3）−ｙ1

　　ｙ3＝｛１／２｝（２−１／４）−１＝−１／８

　　４ｘ＝１　　　（ｍｏｄ５）→ｘ＝４

　　８ｘ＝−１　　（ｍｏｄ５）→ｘ＝３　→　５Ｐ（２，３）

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