■オイラーと無限級数(その22)

  I2=1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+・・・=π^2/6=1.64493・・・であるが,

50項までの分数の和は,1.62513

100項までの分数の和は,1.63498

203項までの分数の和は,1.64

と収束の遅い級数である.そこで,・・・

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  log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+・・・

 xを-xで置き換えた級数

  log(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-・・・

 -log(1-x)=x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+・・・

 -log(1-x)/x=1+x/2+x^2/3+x^3/4+・・・

 -∫log(1-x)dx/x=x+x^2/2^2+x^3/3^2+x^4/4^2+・・・

I=-∫(0,1/2)log(1-x)dx/x

 =(1/2)/1^2+(1/2)^2/2^2+(1/2)^3/3^2+(1/2)^4/4^2+・・・

 ここで,Σ1/k^22^k=π^2/12-1/2・(log2)^2より,

I=-(log2)^2+I2-I

 I2=Σ1/k^22^k-1+(log2)^2

4項までの分数の和で,1.64を超えてしまう(高速化).

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