【１】素数定理

　素数の分布は不規則かつ複雑で未知の部分が多いのですが，１８世紀から１９世紀にまたがって活躍したガウスは，「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え，素数定理を予想しました（１７９２年：ガウスは当時１５才であった）．

　素数定理とは，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

というものです．ここで，π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとします．素数定理は，ｘを超えない素数の個数を与える近似的な公式ですが，”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．

　いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｘの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｘを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束する，

　　π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）〜１　　　（ｘ→∞）

ということです．ｘに近い２つの連続した素数間の平均距離はおよそｌｏｇｘだといってもよいでしょう．

　１８５０年に，ロシアの数学者チェビシェフは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という定理を発見しました．この証明の発見は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．さらに，チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）が０．９２１２９と１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．この結果を得るためにチェビシェフは，オイラーによって１７４０年に考案されたゼータ関数（のちにリーマンがこの名前を付けた）を利用しました．

　素数定理は，ガウス以降，多くの数学者たちが証明できなかった難問でしたが，ガウスの予想から約１００年後の１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンは，同じ年に独立に，リーマンによって複素数まで拡張されたゼータ関数を用いてガウスの素数定理を証明しました．

　その後，長い間，素数定理の証明には複素解析的な方法を使用することが避けられないと信じられていましたが，１９４９年，フィールズメダリストのセルバーグとさすらいの数論家エルデシュは独立に複素解析関数の理論を使わない初等的な方法で素数定理を証明し，当時の数学界を大いに驚嘆させました．セルバーグはこの功績によりフィールズ賞（４年に一度開かれる世界数学者会議で数学の著しい研究に対して与えられる賞で，数学界のノーベル賞ともいうべきものである）を受賞していますが，エレガントで独創的な解をもつ問題を探し当てることができる数学者が優れた数学者ということなのでしょう．

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【２】概素数定理？

　さらに，ガウスは対数表の裏表紙に

　　２つの素因数をもつ数〜（ｌｏｇｌｏｇｘ）・ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

　　３つの素因数をもつ数〜１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2・ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

と書き込んだことが伝えられています．素因数を２つしかもたない合成数は概素数ということができるので，概素数定理？と呼ぶことにします．

　これらを合わせると，

　　ｘ／ｌｏｇｘ・｛１＋ｌｏｇｌｏｇｘ＋１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2＋・・・｝〜ｘ　　　（ｘ→∞）

すなわち，

　　１＋ｌｏｇｌｏｇｘ＋１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2＋・・・→ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

が成り立たなければなりませんが，

　　ｅｘｐｘ〜１＋ｘ＋ｘ^2／２・・・・

　　ｘ←ｌｏｇｌｏｇｘを代入すると

　　ｌｏｇｘ〜１＋ｌｏｇｘｌｏｇｘ＋１／２（ｌｏｇｌｏｇｘ）^2＋・・・

となることが示されます．

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