■メルセンヌ数とフェルマー数(その2)
[Q]x0=m,mは2より大きい整数とする.このとき
xn=(xn-1)^2−2,
の一般項を求めよ.
[A]α+1/α=m,α>1とすると,帰納法より
xn=α^(2^n)+α^-(2^n)
これはxn=[α^(2^n)]と等価である.
たとえば,m=3のとき,
α+1/α=3
α^2−3α+1=0,α=(3+√5)/2=φ^2
xn=[φ^(2^n+1)]
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[Q]y0=m,mは正の整数とする.このとき
yn=2(yn-1)^2−1
の一般項を求めよ.
[A]2yn=(2yn-1)^2−2,2y0=2m
α+1/α=2m,α>1とすると,帰納法より
2yn=α^(2^n)+α^-(2^n)
これはyn=[α^(2^n)/2]と等価である.
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