１７２９＝７・１３・１９

は４ｎ＋１型素数の積ではないので，２つの平方数の和で４通りに表せないが，２つの３乗数の和として（２通りに）表せる．１１０５はどうか？

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［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝１７２９を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

［Ａ］ｘ^3＋ｙ^3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2）＝７・１３・１９

［１］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１３・１９，ｘ＋ｙ＝１

［２］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３・１９，ｘ＋ｙ＝７

［３］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１９，ｘ＋ｙ＝１３

［４］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１３，ｘ＋ｙ＝１９

［５］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１９，ｘ＋ｙ＝７・１３

［６］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３，ｘ＋ｙ＝７・１９

［７］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７，ｘ＋ｙ＝１３・１９

［８］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１，ｘ＋ｙ＝７・１３・１９

　　ｘ＋ｙ＝Ａ，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

　　ｘ^2−ｘ（Ａ−ｘ）＋（Ａ−ｘ）^2＝Ｂ

　　３ｘ^2−３Ａｘ＋Ａ^2−Ｂ＝０

　　ｘ＝１／６・｛３Ａ±（１２Ｂ−３Ａ^2）^1/2｝

に代入すると（ｘ，ｙ）＝（１，１２），（９，１０），（１０，９），（１２，１）が得られる．

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［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝１１０５を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

［Ａ］ｘ^3＋ｙ^3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2）＝５・１３・１７

［１］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝５・１３・１７，ｘ＋ｙ＝１

［２］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３・１７，ｘ＋ｙ＝５

［３］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝５・１７，ｘ＋ｙ＝１３

［４］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝５・１３，ｘ＋ｙ＝１７

［５］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１７，ｘ＋ｙ＝５・１３

［６］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３，ｘ＋ｙ＝５・１７

［７］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝５，ｘ＋ｙ＝１３・１７

［８］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１，ｘ＋ｙ＝５・１３・１７

　　ｘ＋ｙ＝Ａ，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

１２Ｂ−３Ａ^2≧０，Ａ^2≦４Ｂ→［１］［２］［３］

［１］１２Ｂ−３Ａ^2＝１３２５７は平方数ではない．

［２］１２Ｂ−３Ａ^2＝２５７７は平方数ではない．

［３］１２Ｂ−３Ａ^2＝８７は平方数ではない．

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