弾性曲線の性質は

　　ｆ（ｘ）＝∫(0,x)ｘ^2ｄｘ／（ａ^4−ｘ^4）^1/2

で与えられる．また０から（ｘ，ｙ）までの弧長は

　　ｓ（ｘ）＝∫(0,x)ｄｘ／（ａ^4−ｘ^4）^1/2

である．

　このとき，

　　ｆ（ａ）ｓ（ａ）＝πａ^2／４

が成り立つことを発見した．

・∫(0,1)ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝Γ^2（１／４）／（８π）^1/2

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【おまけ】

　・∫(-∞,∞)ｄｘ／（１＋ｘ^4）＝π／√２

　・∫(-∞,∞)ｓｉｎｘｄｘ／ｘ＝π

　・∫(-∞,∞)ｄｘ／ｘ^α（１＋ｘ）＝π／ｓｉｎαπ

［１］・∫(-∞,∞)ｄｘ／（１＋ｘ^4）＝π／√２

・∫(0,1)ｘ^4（１−ｘ）^4ｄｘ／（１＋ｘ^2）＝２２／７−π

・∫(0,1)ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝Γ^2（１／４）／（８π）^1/2

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［２］・∫(-∞,∞)ｓｉｎｘｄｘ／ｘ＝π

　・∫(-0,π)ｓｉｎｘｄｘ／ｘ＝１．８５１９３６９・・・＝γ

　　２γ／π＝１．１７８９７９７４４４・・・

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［３］・∫(-∞,∞)ｄｘ／ｘ^α（１＋ｘ）＝π／ｓｉｎαπ

・∫(0,∞)ｅｘｐ（−ｘ）ｄｘ／（１＋ｘ）＝０．５９６３４７３５５・・・

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