自分の発表ではsupplementary　appendixとして，高次元タイルの話をしたが，３次元タイルの話もしておきたい．単一の正多面体による空間充填パターンとしては，立方格子しかありませんから，立方格子を基本にして考えてみたい．

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［１］２×２×２の立方格子の中心に１辺の長さ√２の正八面体をおく（双対関係）．各辺の中央にも正八面体をおくと，これは１２×１／４＝３個分の正八面体に相当する．また，各頂点とその周囲の３枚の面心を結ぶ８個の正四面体（１辺の長さ√２）を含む．正八面体：正四面体＝１：２

［２］菱形１２面体による空間充填．これは面心立方格子のボロノイ図形である．［１］から正四面体を外し，正八面体を均等に膨らませるとこの空間充填パターンができる．１辺の長さ１の立方体に高さ１／２の正四角錐を６個貼りあわせるあるいは１辺の長さ√２の正八面体に高さ√３／６の正三角錐を８個貼りあわせた図形とみることができる．

［３］切頂八面体による空間充填．これは体心立方格子のボロノイ図形である．

［４］台形菱形１２面体（菱形６枚と等脚台形２：３：４：３，６枚）による空間充填．これは六方最密充填のボロノイ図形である．

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