ｄｘ／（１−ｘ^2）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^2）^1/2

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１−ｃ^2）^1/2

からの類推で，ファニャーノは

　　ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2−１＝０

を与えたと思われる．

　一般には，次数≦２の多項式Ｐ，Ｑに対して

　　Φ（ｘ，ｙ）＝Ｐ0（ｘ）ｙ^2＋２Ｐ1（ｘ）ｙ＋Ｐ2（ｘ）＝０

　　Φ（ｘ，ｙ）＝Ｑ0（ｙ）ｘ^2＋２Ｑ1（ｙ）ｘ＋Ｑ2（ｙ）＝０

を解けば

　　Φ（ｘ，ｙ）＝０

で定義される曲線は

　　ｚ^2＝Ｆ（ｘ），Ｆ＝Ｐ1^2−Ｐ0Ｐ2

　　ω^2＝Ｇ（ｙ），Ｇ＝Ｑ1^2−Ｑ0Ｑ2

の双有理同値である．

　さらに，

　　１／２・∂Φ／∂ｘ＝Ｑ0（ｙ）ｘ＋Ｑ1（ｙ）

　　１／２・∂Φ／∂ｙ＝Ｐ0（ｘ）ｙ＋Ｐ1（ｘ）

より，Φ＝０を微分して

　　±ｄｘ／√Ｆ（ｘ）＝±ｄｙ／√Ｇ（ｙ）

が得られる．

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