【１】等周不等式

　この節では，多面体に対する等周問題と取り上げますが，任意のｎ次元の等周不等式は，

　　Ｓ^n／Ｖ^(n-1)≧ｎ^nｖn　　　（ｖnはｎ次元単位球の体積）

　　　　　　　　　＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)

で表されます．

　ｎ次元等周比（Ｃn）において，とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，

　　Ｃ2＝４π，Ｃ3＝３６π

すなわち，

　　Ｌ^2≧４πＳ

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

がわかります．以下，

　　Ｃ4＝2^7π^2，Ｃ5＝8/3*5^4π^2，Ｃ6＝6^5π^3，・・・

となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．

　また，凸体Ｖを囲む曲面Ｓにおいて，平均曲率は，

　　Ｈ＝１／２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2）

で定義されます．ここで，平均曲率の積分を

　　Ｍ＝∫Ｈｄｓ

で表すと，ミンコフスキーの不等式

　　Ｓ^2−３ＶＭ≧０

　　Ｍ^2−４πＳ≧０

これから直ちに

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が導かれます．

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　ともあれ，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．

　多面体の等周問題は，単位球に外接する多面体では，

　　Ｖ＝Ｓ／３

となることから，

　　Ｓ^3／Ｖ^2＝９Ｓ＝２７Ｖ

が成り立ちます．したがって，与えられた面数ｎをもつ多面体に関する等周問題は，最小の体積または最小の表面積をもち，球に外接するｎ面体を定めるという問題に帰着されます．

　等周比の点からいえば，５種の正多面体では正４面体が最も球に遠く，正２０面体が最も球に近いことになります．それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものはなんでしょうか？

　答えはｆ＝４，６，１２ではプラトンの正多面体，すなわち，正四面体，立方体，正十二面体が最小値をとります．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体ではありません（アルキメデスの反プリズム）．ｆ＝２０は未解決のまま残っています．

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　三次元の問題はなかなか一筋縄ではいきませんが，凸ｎ面体の表面積をＳ，体積をＶとすれば，等周不等式は，

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｎ−２）ｔａｎ（ωn）（４ｓｉｎ^2（ωn）−１）

ただし，等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つことに注意して下さい．これによって，３稜頂点多面体に対しては，正多面体（正４面体，立方体，正１２面体）が同じ面数の多面体の中でも最良となることが証明されるのです．

　一方，３角形多面体に関しては

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｎ−２）（３ｔａｎ^2（ωn）−１）

であることが予想されています．

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［補］

　　ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６　　　ｎ≧３

を導入しておきます．球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となりますから，△n＝６ωn−πは単位球面が分割されてできる球面三角形の平均面積，また，球面正三角形の場合，２ωnは面積が６ωn−πの球面正三角形△nの１つの内角を表しています．

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