■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その３８，杉岡幹生）
今回から、実２次体Q(√5)ゼータLN(s)の分割を調べていきます。
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ここから、これまでとはすこし違った様相を見せはじめます。生成核Ｇ[2](x)関数からはLN(s)の１分割は出ないようです。
LN(s)分割は、Ｇ[2](x)の世界ではいきなり２分割からはじまります。そのため”2×n”の2n分割つまり、２分割、４分割、６分割、８分割・・が実現されていきます。
これまでの分割の結果をまとめると次のようになります。
導手の小さいゼータから調べていっているわけですが、N＝3の次に大きな導手(N＝5)をもつLN(s)の分割を調べようとしています。今回から？を埋めていきます。
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ζ(ｓ) 仮想？実2次体Q(√1)ゼータ、導手N＝1 ⇒ n分割可能。
L(ｓ) 虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4 ⇒ n分割可能。
LA(s) 虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3 ⇒ １～１０分割可能。n分割可能と考えられる（予想）。
LN(s) 実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5 ⇒ ？
注記：nは1以上の整数
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LN(s)ゼータはディリクレのＬ関数L(χ,s)＝Σχ(n)/n^sの一種で(n=1～∞)、次のディリクレ指標χ(n)をもつ実2次体Q(√5)ゼータです。
LN(s)＝1 -1/2^s -1/3^s +1/4^s +1/6^s -1/7^s -1/8^s +1/9^s +1/11^s -1/12^s -1/13^s +1/14^s ・・ -----①
（導手N＝5, n≡1 or 4 mod 5に対しχ(n)＝1, n≡2 or 3 mod 5に対しχ(n)＝-1, その他のnではχ(n)＝0） ----①-2
導手とは、ゼータを特徴づけるχ(n)の”最小ブロック単位”のことです。①を見るとわかるように、LN(s)では①-2の規則にしたがってχ(n)が+1や-1になっていることがわかります。mod 5だから導手は5となります。
仮想？実2次体ゼータと考えられるリーマンゼータζ(s)を除くと、LN(s)は実際の実2次体では最小の導手(N＝5)をもつゼータ関数となります。
LN(s)の特殊値では、LN(2)、LN(4)、LN(6)・・が明示的な特殊値をもちます。これはζ(s)ではζ(2)、ζ(4)、ζ(6)、・・が明示的であることと対応しています。さらには、これは「実2次体ゼータはcos級数から生まれる。虚２次体ゼータはsin級数から生まれる。」という原理とも関係しています。
（その３６）参照。http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12499_s8.htm
以下ではLN(2)を代表選手として考察していきます。（LN(4)、LN(6)、・・でもまったく同じ議論が成立するのでそれらは略します）
さて、LN(2)分割を行う前に、すこし前準備をしましょう（LA(s)でやったのと同類の準備）。
LN(2)＝1 -1/2^2 -1/3^2 +1/4^2 +1/6^2 -1/7^2 -1/8^2 +1/9^2 +1/11^2 -1/12^2 -1/13^2 +1/14^2 ・・
＝1 -1/3^2 -1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 -1/13^2 -1/17^2 +1/19^2 +・・
+(-1/2^2 +1/4^2 +1/6^2 -1/8^2 -1/12^2+1/14^2 +1/16^2 -1/18^2 -1/22^2 +1/24^2 +・・)
＝1 -1/3^2 -1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 -1/13^2 -1/17^2 +1/19^2 +・・
-1/2^2(1 -1/2^2 -1/3^2 +1/4^2 +1/6^2 -1/7^2 -1/8^2 +1/9^2 +1/11^2 -1/12^2 -・・)
＝1 -1/3^2 -1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 -1/13^2 -1/17^2 +1/19^2 +・・
-1/2^2・LN(2)
ここで、Ln(2)＝1 -1/3^2 -1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 -1/13^2 -1/17^2 +1/19^2 +・・ とおくと、上式は次のようになる。
Ln(2)＝(1 +1/2^2)LN(2) --------②
これより、Ln(2)はLN(2)と本質的に同じとわかります。すなわち、Ln(s)はLN(s)と本質的に同じです。以下でLn(2)が出てきます。
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では、以下にLN(2)またはLn(2)の２分割、４分割、６分割を示します。”⇒無視”は分割に関係しないものであり無視します。
■LN(2)２分割
A1＝1 +1/4^2 +1/6^2 +1/9^2 +1/11^2 +1/14^2 +・・＝(π/5)^2 /{cos(3π/10)}^2
A2＝1/2^2 +1/3^2 +1/7^2 +1/8^2 +1/12^2 +1/13^2 +・・＝(π/5)^2 /{cos(π/10)}^2
A1 -A2＝LN(2)であることがわかります。念のため、上記式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
■Ln(2)４分割
A1＝1 +1/19^2 +1/21^2 +1/39^2 +1/41^2 +1/59^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(9π/20)}^2
A2＝1/3^2 +1/17^2 +1/23^2 +1/37^2 +1/43^2 +1/57^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(7π/20)}^2
A3＝1/5^2 +1/15^2 +1/25^2 +1/35^2 +1/45^2 +1/55^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(5π/20)}^2 ⇒無視
A4＝1/7^2 +1/13^2 +1/27^2 +1/33^2 +1/47^2 +1/53^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(3π/20)}^2
A5＝1/9^2 +1/11^2 +1/29^2 +1/31^2 +1/49^2 +1/51^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(π/20)}^2
A1 -A2 -A4 +A5＝Ln(2)であることがわかります。上記式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
■LN(2)６分割
A1＝1/1^2 +1/14^2 +1/16^2 +1/29^2 +1/31^2 +1/44^2 +・・＝(π/15)^2 /{cos(13π/30)}^2
A2＝1/2^2 +1/13^2 +1/17^2 +1/28^2 +1/32^2 +1/43^2 +・・＝(π/15)^2 /{cos(11π/30)}^2
A3＝1/3^2 +1/12^2 +1/18^2 +1/27^2 +1/33^2 +1/42^2 +・・＝(π/15)^2 /{cos(9π/30)}^2
A4＝1/4^2 +1/11^2 +1/19^2 +1/26^2 +1/34^2 +1/41^2 +・・＝(π/15)^2 /{cos(7π/30)}^2
A5＝1/5^2 +1/10^2 +1/20^2 +1/25^2 +1/35^2 +1/40^2 +・・＝(π/15)^2 /{cos(5π/30)}^2 ⇒無視
A6＝1/6^2 +1/9^2 +1/21^2 +1/24^2 +1/36^2 +1/39^2 +・・ ＝(π/15)^2 /{cos(3π/30)}^2
A7＝1/7^2 +1/8^2 +1/22^2 +1/23^2 +1/37^2 +1/38^2 +・・ ＝(π/15)^2 /{cos(π/30)}^2
A1 -A2 -A3 +A4 +A6 -A7＝LN(2)であることがわかります。上記式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
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上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。三角関数タンジェントの部分分数展開式をＧ[1](x)と表現すると、次のようになります。
Ｇ[1](x)＝1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・＝(π/(4x))tan(πx/2)
LN(2)では、これを１回微分して得られる次の生成核Ｇ[2](x)を使います。
Ｇ[2](x)＝1/(1^2-x^2)^2 +1/(3^2-x^2)^2 +1/(5^2-x^2)^2 +・・＝(π/(4x))^2/{cos(πx/2)}^2 + Others(x)
ここで右辺のOthers(x)は、じつはOthers(x)＝-{π/(8x^3)}tan(πx/2)ですが、今回は無視してよい個所なのでOthers(x)としました。
Ｇ[2](x)のxに特定の値を代入することで、LN(2)の分割級数が次々に求まっていきます。以下の通りです。
Ｇ[2](x)のxに値3/5を代入すると、LN(2)２分割のA1が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値1/5を代入すると、LN(2)２分割のA2が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値9/10を代入すると、Ln(2)４分割のA1が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値7/10を代入すると、Ln(2)４分割のA2が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値5/10を代入すると、Ln(2)４分割のA3が得られる。⇒無視。5/10代入は1/2代入であり、これはζ(2)となる。
Ｇ[2](x)のxに値3/10を代入すると、Ln(2)４分割のA4が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値1/10を代入すると、Ln(2)４分割のA5が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値13/15を代入すると、LN(2)６分割のA1が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値11/15を代入すると、LN(2)６分割のA2が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値 9/15を代入すると、LN(2)６分割のA3が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値 7/15を代入すると、LN(2)６分割のA4が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値 5/15を代入すると、LN(2)６分割のA5が得られる。⇒無視。5/15代入は1/3代入であり、これはLA(s)類似物といえるが、対応ゼータ無し。
Ｇ[2](x)のxに値 3/15を代入すると、LN(2)６分割のA6が得られる。
Ｇ[2](x)のxに値 1/15を代入すると、LN(2)６分割のA7が得られる。
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このようにLN(s)でも規則的に分身たちが生成され、真の分割が実現されていきます。無視したものの残りで分割が実現されていることに着目ください。
代入する値が分母、分子で約分される場合が無視するものの候補になります。
「この分割ではどうして○/5代入から始まるのか？」と思われるかもしれませんが、答えは「それはLN(s)の導手Nが5だから」です。代入する値は、まず導手をヒントに探せばよいのです。
生成核Ｇ[2](x)の世界ではいきなり２分割からはじまりました。そして２分割からはじまったために２分割、４分割、６分割・・と2n分割となったわけですが、１分割からはじまる生成核は存在しないのでしょうか。そして、もしその生成核があればn分割可能となるのでしょうか。
ζ(s)、L(s)、LA(s)ではn分割ができたのに、LN(s)は2n分割が最良なのでしょうか。
こんな疑問が出ますが、現時点ではまったくわかりません。直観的にn分割は無理なような気がします。とりあえずは生成核G[2](x)でやっていきます。
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