グラミアンを使うと行列式の次元が上がってしまうので，ペンタグラムなどの簡単な幾何学的性質を用いて，（その８３９）の３次元，５次元版を考えてみたい．

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　たとえば，３次元正４面体では，体積は定数係数を除いて，行列式

　　｜１　ｘ　ｙ｜

　　｜ｘ　１　ｘ｜＝１＋２ｘ^2ｙ−ｙ^2−２ｘ^2

　　｜ｙ　ｘ　１｜

で与えられる．ｘ＝−ｃｏｓθ

　正四面体が２次元に退化する条件は

２ｘ^2（ｙ−１）−（ｙ^2−１）＝０

（ｙ−１）（２ｘ^2−ｙ−１）＝０

１＋２ｘ＋ｙ＝０，ｙ＝−１−２ｘと連立させて解くと，

−４ｘ（ｘ＋１）^2＝０，

（ｘ，ｙ）＝（０，−１），（−１，１）

θ＝π／２，０

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　５次元正単体の場合，

　　｜１　ｘ　ｙ　ｚ　ｙ｜

　　｜ｘ　１　ｘ　ｙ　ｚ｜

　　｜ｙ　ｘ　１　ｘ　ｙ｜

　　｜ｚ　ｙ　ｘ　１　ｘ｜

　　｜ｙ　ｚ　ｙ　ｘ　１｜

１＋２ｘ＋２ｙ＋ｚ＝０

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　したがって，体積０の場合を考えるには，正ｎ角形に対角線をいれた図形を考えればよい．

［１］四面体

　　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝１

　　ＡＣ＝ＢＤ＝√２

　　ＡＤ＝１

［２］５胞体

　　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝１

　　ＡＣ＝ＢＤ＝ＣＥ＝τ

　　ＡＤ＝ＢＥ＝τ

　　ＡＥ＝１

［３］５次元単体

　　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＦ＝１

　　ＡＣ＝ＢＤ＝ＣＥ＝ＤＦ＝√３

　　ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ＝２

　　ＡＥ＝ＢＦ＝√３

　　ＡＦ＝１

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