［Ｑ］辺の長さがすべて整数の直角三角形（ａ，ｂ，ｃ）で，周長と面積が等しいものは？

［Ａ］ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

　　　ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂ／２

４ａ^2＋４ｂ^2＝（ａｂ−２ａ−２ｂ）^2

ａ^2ｂ^2−４ａ^2ｂ−４ａｂ^2＋８ａｂ＝０

ａｂ−４ａ−４ｂ＋８＝０

ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂ／２＝２ａ＋２ｂ−４

ｃ＝ａ＋ｂ−４

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　このままでは先に進まないので，

　　ａ＝ｍ^2−ｎ^2，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ^2−ｎ^2

とパラメトライズすると

ｍ^2＋ｎ^2＝ｍ^2−ｎ^2＋２ｍｎ−４

２ｎ^2−２ｍｎ＋４＝０

ｎ^2−ｍｎ＋２＝０

ｎ＝｛ｍ±（ｍ^2−８）^1/2｝／２

ｍ^2−８≦（ｍ−１）^2

２ｍ≦７，ｍ^2−８が平方数となるのは

ｍ＝３，ｎ＝２→（ａ，ｂ，ｃ）＝（５，１２，１３）

ｍ＝３，ｎ＝１→（ａ，ｂ，ｃ）＝（６，８，１０）

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