≪ゼータ分割への雑感、スケッチ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　２次体ゼータに関して思うところをスケッチし、今後の方針を述べたいと思います。私自身の整理整頓の意味もあります。

　ディリクレのL関数L(χ,s)には、無数の２次体ゼータが含まれています。ζ(s)とL(s)はその中でも最も有名なゼータであり、このシリーズでも先にそれをやりました。

　その結果「ζ(2),ζ(4)・・やL(1)、L(3),・・はｎ分割可能である（ｎは1以上の整数）」という驚くべき結果が得られました。

　これは予想だにしなかった結果であり、また導出方法もそれは簡潔で美しいものでした。

　ζ(s)やL(s)は小さい導手をもつゼータであり、導手NはそれぞれN＝1、N＝4です。導手については（その３４）参照。

　他の２次体ゼータも簡単にいくはずとタカをくくっていたのですが、ここ数週間で何種類かのゼータを計算してみて、そんなに単純ではないとわかってきました。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　じつは１３〜１４年前に、ζ(s)を含む２次体ゼータが分裂する現象を発見していました。”分割ゼータ”などと名付けて喜んでいました。佐藤郁郎氏にも報告し、自分のサイトにも多く書きました。この「冥王星　その６」あたりで、ゼータが分裂する様子をまとめています。

http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page099.htm

　この記事を書いたのが2005年ですから、もう１３年も前です。かなり記憶もうすれていまして、とにかく面白い分裂現象を発見したことは覚えていました。

　当時の感想は「導手の大きいゼータは数個に分裂する、面白い！」というものであり、それ以上突っ込んでやりませんでした。「無限に分割可能か？」などという発想は浮かびませんでした。

　その頃は他に多くのテーマがあったので、いつしかこれは忘れていきました。しかし本質的な現象とはわかったので、「予想Ｌ-４」とともに表にまとめたものが上記サイトの表A,表B,表A-2,表B-2です。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　予想Ｌ-４を再掲します。これは非常に大事なものですが、上記サイト中の式が間違っており、未整理の感もあるので、次のように書き直しました。

＜予想Ｌ-４＞

　　 -log(2sin(x/2))＝cosx + (cos2x)/2 + (cos3x)/3 + (cos4x)/4 + ・・・　 ----- Ａ　　　（0 < x < 2π）

　　　(π- x)/2＝sinx + (sin2x)/2 + (sin3x)/3 + (sin4x)/4 + ・・・　 --------Ｂ　　　（0 < x < 2π）

　Ａ、Ｂと２次体Q(√m)の間には、ディリクレのL関数L(χ,s)を介して次のような関係が存在している。（ただしmは整数で、１以外の平方数で割り切れないもの）

［�T］mが4n+2 または 4n+3の整数のとき

　k＝2|m|とおく。ＡとＢの重回積分-重回微分の結果に qπ/k を代入すると、導手NがN＝2k(つまりN＝4|m|)である２次体Q(√m)に対応するL(χ,s)かあるいはその分割ゼータ（複数)が出現する。

［�U］mが4n+1の整数のとき

　k＝|m|とおく。ＡとＢの重回積分-重回微分の結果に qπ/k を代入すると、導手NがN＝k(つまりN＝|m|)である２次体Q(√m)に対応するL(χ,s)かあるいはその分割ゼータ（複数）が出現する。

　ここで分割ゼータ（複数）とは、それらを適当に足したり引いたりするだけで上の条件を満たすL(χ,s)を出現させられる級数を指す。

k, q は互いに素な整数で、0 < qπ/k < 2πを満たす。

　さらに、上記のQ(√m)が実２次体ならば、対応するL(χ,s)の特殊値がＡの偶数回の積分・微分の所と、Ｂの奇数回の積分・微分の所に現れる。

　　　　　上記のQ(√m)が虚２次体ならば、対応するL(χ,s)の特殊値がＡの奇数回の積分・微分の所と、Ｂの偶数回の積分・微分の所に現れる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　式Ａ、Ｂのフーリエ級数は「数学公式�U」（一松信ほか著、岩波書店）p.71に載っています。

　この予想では例えば式Ｂは、”-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・”とサイトには書いていますが、これは間違いです。これは�Aを微分したものですが、これは数式的にはまちがっている。（解析接続的に解釈できるという程度の正しさしかない）。

　その間違った式で書いていたのですが、多く書きすぎたため訂正もままなりませんから、サイトに「じつはＡ，Ｂが正しい。サイトに書いた内容はn回微分、ｎ回積分のnを１つずらすだけで、全て論理は正しく成立する」と断りを入れ、それで済ませました。（⇒http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page046.htm　この「付記」あたり）

　　予想Ｌ-４は当時多くの検証を行なったので「ぜったいに正しい」といえるものです。

　さて、今回発見した分割現象は１３年前のものとすこし違っている感じがして、当時の発見は今回のにあまり関係してこないのでは？と思っていました。

　しかし、よく見直してみるとどうも関係があります。導手Nが大きくなってきた場合に、どんな２次体ゼータが出てくるかを予想Ｌ-４は示してくれていて、非常に便利とわかってきました。とくに「qπ/k を代入すると」が「部分分数展開式にどんなxを代入するか？」に大きく関係するとわかった。

　例えば、LA(s)ゼータはQ(√-3)ゼータですからm＝-3であり、mが4n+1の整数のときの[�U］のタイプです。k＝|m|＝|-3|＝3です。よって、qπ/3 を代入するとLA(s)が出現するはずですが、サイト中の表に記したように、実際に出現しています。また、今回の分割では（その３３）で見たとおり、部分分数展開式にｘ＝1/3を代入してLA(1)１分割が出現しました。すなわち、qπ/3代入 と1/3代入は本質的に同じなのです。

　このように、予想Ｌ-４と今回の研究は関係している。この変のカラクリをもう少し述べます。

　フーリエ級数

　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・　　　　（0 < x < 2π）

に∫(0〜x) e^(ax)を作用させ積分を行った結果式のxにπを代入すると、次の２式が得られます。（aは任意の実数）

http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page210.htm　高見沢彗星　（その４）

*******************

［π代入］

　1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2) + ・・ ＝(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1) -----Ｃ

　1/(2^2+a^2) + 1/(4^2+ a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(8^2+ a^2) + ・・ ＝- 1/(2a^2) + (π/(4a))・(e^(aπ)+1)/( e^(aπ)-1) ----Ｄ

*******************

　これが2010年に得た「ゼータの香りの漂う公式」です。（代入する値を変えることでいろいろなバリエーションの式がある）

　Ｃのaをxi（iは虚数単位）で置き換えると、次の部分分数展開式Ｇ[1](x)が出る。

　Ｇ[1](x)＝1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2) --------Ｅ

　ＣやＥを使って、ζ(s)やL(s)やLA(1)の分割を求めてきましたが、ＣやＥの大元はＢだったとわかります。

　　　(π- x)/2＝sinx + (sin2x)/2 + (sin3x)/3 + (sin4x)/4 + ・・・　 --------Ｂ　　　（0 < x < 2π）

　したがって「Ｂを含む予想Ｌ-４」と「ＣやＥを使った分割の理論」が関係するのは、じつは当たり前なのです。

　ＣやＥの母親はＢであり、子供のＣやＥは当然母親の遺伝的性質を引き継いでいます。チャチな感じの式Ｂから全てのＬ(χ,ｓ)の値が出るだけでなく、分割した値が出るというのですから、驚愕としかいいようがありません。

　ちなみに、奇数ゼータζ(3),ζ(5)・・などの非明示の値の場合はＡがその母親となります。

　　 -log(2sin(x/2))＝cosx + (cos2x)/2 + (cos3x)/3 + (cos4x)/4 + ・・・　 ----- Ａ　　　（0 < x < 2π）

　今後の研究に大きなヒントを与えてくれるのが、予想Ｌ-４なのです。

　現時点の計算の感触では、導手Nが４以下とか小さい場合はｎ分割可能のようです。しかし、導手Nが大きくなってくるとｎ分割は無理かもしれない・・。あるゼータは２ｎ分割可能、あるゼータは３ｎ分割可能などとなるのだろうか？はたまた、全ての２次体ゼータはｎ分割可能なのか？

　とにもかくにも、ＡとＢはゼータの中心に位置する式です。

　あと、一つの大事な原理を述べて、この雑感を終えます。次のものです。

******************************

＜２次体ゼータの原理（予想）＞

　cos級数から実２次体ゼータが生まれてくる。sin級数から虚２次体ゼータが生まれてくる。

********************************

　これは2004年に発見したものですが、次の「土星　その２」で記しています。

　http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page074.htm

　そこでは、

　　　実２次体に関するL(χ,s)の特殊値は、ｃｏｓ級数から生み出される。

　　　虚２次体に関するL(χ,s)の特殊値は、ｓｉｎ級数から生み出される。

と表現している。

　これは非常に重要な原理です。この発見だけは忘れることができず、指導原理としてゼータ研究に役立ってきましたし、いまも役立っています。じつは予想Ｌ-4もこの原理の上に成り立っています。

　具体的に述べると、cos級数とsin級数は次のものです。

　Ｃ(x,s)＝(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s +(cos4x)/4^s +・・・

　Ｓ(x,s)＝(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s +(sin4x)/4^s +・・・

　このxに様々なqπ/pを代入することで様々な種類のゼータが出てくるのですが、どんな値を代入しても「Ｃ(x,s)からは実２次体ゼータしか出てこない。Ｓ(x,s)からは虚２次体ゼータしか出てこない。」となっている。

例えば、3π/4を代入すると、Ｃ(x,s)からは実２次体Q(√2)ゼータL1(s)が出てきて、Ｓ(x,s)からは虚2次体Q(√-2)ゼータL2(s)が出てきます。

　　L1(s)=1/1^s - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s +･･･

　 L2(s)=1/1^s + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s +･･･

　じつは、式Ｅの部分分数展開式はsin級数の心を宿しています。ですから、それから虚２次体Q(√-1)ゼータL(s)他が出たのです。式Ｅの部分分数展開式を１回微分すると、cos級数の心を宿します（⇒Ｇ[2](x)となった）。ですから、Ｇ[2](x)から実２次体ゼータに属するζ(s)が出たのです（ζ(s)は仮想的実２次体Q(√1)に対応）。

　この原理も証明はしていませんが、膨大な計算から「ぜったいに正しい」といえるものです。これがないと方角がわかりません。＜２次体ゼータの原理＞は、真っ暗闇の２次体の海を進む際の灯台の明かりとなってくれています。

これらの道具を用いてゼータの森へと分け入っていきます。以上（杉岡幹生）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝