ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ａ

ＡＣ＝ＢＤ＝ｂ

ＡＤ＝ｃ

の四面体の体積は，１４４Ｖ^2

＝ａ^2ｃ^2（ａ^2−ｃ^2）

　＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

　＋ａ^4（−ａ^2＋ｃ^2）

＝−ａ^2（ｃ^2−ａ^2）^2＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

で与えられる．

　空間充填四面体は

　　ｃ^2＝３（ｂ^2−ａ^2）

　　ａ^2＝ｅ^2＋ｃ^2／９

　　ｂ^2＝ｅ^2＋４ｃ^2／９

を満たす．

［Ｑ］三角柱の大きさを一定（ｅ^2＝１）として，空間充填四面体の体積の最大値・最小値を求めよ．

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１４４Ｖ^2＝−ａ^2（ｃ^2−ａ^2）^2＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

ａ^2＝１＋ｃ^2／９

ｂ^2＝１＋４ｃ^2／９

を代入すると，

１４４Ｖ^2＝−（１＋ｃ^2／９）（１−８ｃ^2／９）^2＋（１＋４ｃ^2／９）^3

Ω＝９^3・１４４Ｖ^2

＝−（９＋ｃ^2）（９−８ｃ^2）^2＋（９＋４ｃ^2）^3

＝−（９＋Ｃ）（９−８Ｃ）^2＋（９＋４Ｃ）^3，Ｃ＝ｃ^2

Ｃで微分すると

−（９−８Ｃ）^2＋１６（９＋Ｃ）（９−８Ｃ）＋１２（９＋４Ｃ）^2

＝−８１＋１４４Ｃ−６４Ｃ^2＋１６（８１−６３Ｃ−８Ｃ^2）＋１２（８１＋７２Ｃ＋１６Ｃ^2）

＝２１８７＞０　　（最大値・最小値が求まらずＮＧ）

　確認のため

Ω＝−（９＋Ｃ）（８１−１４４Ｃ＋６４Ｃ^2）＋（７２９＋９７２Ｃ＋４３２Ｃ^2＋６４Ｃ^3）

＝２１８７Ｃ

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