等面四面体

ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝１

ＡＣ＝ＢＤ＝ｂ

ＡＤ＝１

の高さの最大値・最小値を求めよ．（その８２０）をやり直し．

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１４４Ｖ^2＝２ｂ^4（２－ｂ^2），９Ｖ^2＝ｂ^4（２－ｂ^2）／８

Ｖ＝Ｓ・ｈ／３

ｈ＝３Ｖ／Ｓ，ｈ^2＝９Ｖ^2／Ｓ^2

ｂ＋２＝２ｓとおくと，ヘロンの公式より

Ｓ^2＝ｓ（ｓ－１）^2（ｓ－ｂ）

＝（ｂ／２＋１）ｂ^2（１－ｂ／２）／４＝ｂ^2（１－ｂ^2／４）／４

＝ｂ^2（４－ｂ^2）

ｈ^2＝９Ｖ^2／Ｓ^2＝ｂ^4（２－ｂ^2）／８・１／ｂ^2（４－ｂ^2）

＝ｂ^2（２－ｂ^2）／８（４－ｂ^2）

Ｈ＝８ｈ^2＝ｂ^2（２－ｂ^2）／（４－ｂ^2）

Ｈ’＝｛｛４ｂ－４ｂ^3）（４－ｂ^2）＋２ｂ（２ｂ^2－ｂ^4）｝／（４－ｂ^2）^2

＝｛４ｂ｛１－ｂ^2）（４－ｂ^2）＋２ｂ（２ｂ^2－ｂ^4）｝／（４－ｂ^2）^2

Ｈ’の分子／２ｂは

＝２｛１－ｂ^2）（４－ｂ^2）＋（２ｂ^2－ｂ^4）

＝２（４－５ｂ^2＋ｂ^4）＋（２ｂ^2－ｂ^4）

＝ｂ^4－８ｂ^2＋８

ｂ^2＝４±√８

ｂ＝１．０８２３９

ｂ＝２．６１３１３（＞√２より，等面四面体にならない）

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［まとめ］高さの最大値は，正四面体とサマーヴィルの等面四面体の間にある．

ｂ＝１，ｂ＝２／√３＝１．１５４７

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