四面体ＡＢＣＤ，ＡＢ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＤ＝ｃ，ＣＤ＝ｄ，ＢＤ＝ｅ，ＢＣ＝ｆの体積公式は

　　８・３６・Ｖ^2＝｜０，　１，　１，　１，　１｜

　　　　　　　　　　｜１，　０，ａ^2，ｂ^2，ｃ^2｜

　　　　　　　　　　｜１，ａ^2，　０，ｆ^2，ｅ^2｜

　　　　　　　　　　｜１，ｂ^2，ｆ^2，　０，ｄ^2｜

　　　　　　　　　　｜１，ｃ^2，ｅ^2，ｄ^2，　０｜

ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ＤＡ＝ｄ，ＤＢ＝ｅ，ＤＣ＝ｆとおくと

　　１４４Ｖ^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｂ^2ｆ^2ｄ^2−ｃ^2ｄ^2ｅ^2

ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ａ

ＡＣ＝ＢＤ＝ｂ

ＡＤ＝ｃ

の四面体を考えると，

ｃ→ａ，ｄ→ｃ，ｅ→ｂ，ｆ→ａ

と置き換えなければならない．

　　１４４Ｖ^2＝ａ^2ｃ^2（ｂ^2＋ａ^2＋ｂ^2＋ａ^2−ａ^2−ｃ^2）

　　　　　　　＋ｂ^2ｂ^2（ａ^2＋ａ^2＋ａ^2＋ｃ^2−ｂ^2−ｂ^2）

　　　　　　　＋ａ^2ａ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｂ^2−ａ^2−ａ^2）

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ａ^2−ａ^2ｂ^2ａ^2−ｂ^2ａ^2ｃ^2−ａ^2ｃ^2ｂ^2

＝ａ^2ｃ^2（ａ^2＋２ｂ^2−ｃ^2）

＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

＋ａ^4（−ａ^2＋２ｂ^2＋ｃ^2）

−２ａ^4ｂ^2−２ａ^2ｂ^2ｃ^2

＝ａ^2ｃ^2（ａ^2−ｃ^2）

　＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

　＋ａ^4（−ａ^2＋ｃ^2）

［１］正四面体（ａ^2，b^2，ｃ^2）＝（１，１，１）

　　→１４４Ｖ^2＝２，Ｖ^2＝１／７２　　（ＯＫ）

［２］ヒルの直角錘（ａ^2，b^2，ｃ^2）＝（１，２，３）

　　→１４４Ｖ^2＝−６＋８＋２＝４，Ｖ^2＝１／３６　　（ＯＫ）

［３］サマーヴィルの等面四面体（ａ^2，b^2，ｃ^2）＝（３，４，３）

　　→１４４Ｖ^2＝１６・４，Ｖ^2＝４／９　　（ＯＫ）

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