【１】ビビアーニの球面

　半径１の球：ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝１が半径１／２の平行な円筒２つ：（ｘ−１／２）^2＋ｙ^2＝（１／２）^2，（ｘ＋１／２）^2＋ｙ^2＝（１／２）^2によって切り取られる体積の問題（ビビアーニの球面）を紹介したい．ビビアーニはガリレオの弟子．

　円筒がひとつならば球との交線は空間８の字曲線を描くことになる．とはいっても図が複雑すぎてここに描くことができない．

　答えだけを紹介することになるのだが，一般に球の半径をｒとすると残った球の体積は１２８ｒ^3／９，残った球の表面積は３２ｒ^2になる．球の問題なのにπはつかないのである．

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【２】ビビアーニ曲線の弧長

　実はこの曲線をｙｚ平面に射影するとレムニスケートになる．

　　ｙ^2＝ｚ^2−ｚ^4

第１象限（ｘ≧０，ｙ≧０，ｚ≧０）の曲線の長さは１／４になる．

　　ｙ＝√（ｘ−ｘ^2），ｚ＝√（１−ｘ）

　　ｄｙ／ｄｘ＝（１−２ｘ）／√（ｘ−ｘ^2）

　　ｄｚ／ｄｘ＝−１／√（１−ｘ）

　　Ｌ＝４∫(0,1)（１＋（ｄｙ／ｄｘ）^2＋＋（ｄｚ／ｄｘ）^2）^1/2

＝４∫(0,1)（（１＋ｘ）／４ｘ（１−ｘ））^1/2ｄｘ

ｘ＝ｃｏｓ^2θと変数変換すると

　　Ｌ＝４∫(0,π/2)（１＋ｃｏｓ^2θ）^1/2ｄθ

　これは楕円積分であって，楕円：ｘ^2／２＋ｙ^2＝１の周長に等しい．

　　ｘ＝√２ｓｉｎθ，ｙ＝ｃｏｓθ

と媒介変数表示すると

　　ｄｘ／ｄθ＝√２ｃｏｓθ，ｄｙ／ｄθ＝−ｓｉｎθ

　　Ｌ＝４∫(0,π/2)（（ｄｘ／ｄθ）^2＋（ｄｙ／ｄθ）^2）^1/2

＝４∫(0,π/2)（１＋ｃｏｓ^2θ）^1/2ｄθ

となるからである．

　この楕円は半径１の円と半径√２の円に挟まれているので，２つの円周の平均をとって

　　（１＋√２）π＝２．４１４２１３５６・・・π

と近似できるが，より高い精度の近似値を求めてみると

　　（√２＋√６＋√（６＋√２）＋√（６−√２）＋１）／４π＝２．４３２０１３４・・・π

　　［参］佐久間一浩「高校数学と大学数学の接点」日本評論社

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［補］ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１の周長

　　Ｌ＝∫(0,2π)（ａ^2＋（ａ^2−ｂ^2）ｃｏｓ^2θ）^1/2ｄθ

ａ≠ｂのとき，根号が外せない．

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