■アルキメデスとてこの原理(その7)
【1】球帽の面積
球面上の2点x,yに対して,θ=∠xoyを球面距離という.また,球面上の円を球帽という.ここでは点Pからの球面距離がθ(0≦θ≦π)であるような球面上の点全体の集合を考えるが,球面半径θの球帽の面積をC(θ)で表すことにすると,
C(θ)=2π(1−cosθ)
で与えられる.
緯度をαとして,赤道と緯度αの間のベルトの面積をB(α)で表すことにすると,
B(α)=2π(1−sinα)
で与えられる.
(Q)熱帯は緯度23.5°の間の部分である.熱帯は地表の何%を占めるか?
(A)sin23.5°=0.39874(約40%)
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【2】表面積の2等分
次に,半球の表面積を2等分するにはどこで切ればよいかの解も求めておこう.
y=f(x)>0のグラフをx軸を中心に回転させてできる曲面の面積は
S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx
で与えられるから,y=(1-x^2)^(1/2)とおくと
S[y]=2π∫(0,a)dx=2πa=0.5/2・4π
より
a=0.5=sin30
と求められる.
B(α)=2π(1−sinα)を用いると
B(α)=2π(1−sinα)=π→α=30゜
赤道と北緯30゜線で挟まれる帯,北緯30゜線と北緯60゜線,北緯60゜線より北の部分の面積比は1:√3−1:2−√3になる.
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