下記URLの「その７」でLA(s)ゼータのLA(1)の２分割に失敗していましたが、分割できたので報告します。また３分割、４分割、５分割もできたので同時にお知らせします。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/11911_lx.htm

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　復習になりますが、LA(s)ゼータはL関数L(χ,s)の一種で、次のディリクレ指標をもつ虚２次体Q(√-3)ゼータです。

　LA(s)＝1 -1/2^s +1/4^s -1/5^s +1/7^s -1/8^s +1/10^s -1/11^s　+1/13^s -1/14^s +1/16^s -1/17^s +1/19^s -1/20^s +1/22^s -・・

（Q(√-3)ゼータ、導手N=3,　n≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(n)＝0, 1, -1）

　明示的に求まる特殊値LA(1),LA(3),LA(5)・・のうち、次のLA(1)を代表選手として考察します。

　LA(1)＝1 -1/2 +1/4 -1/5 +1/7 -1/8 +1/10 -1/11 +1/13 -1/14 +1/16 -1/17 +1/19 -1/20 +1/22 -・・＝π/(3√3) ----�@

　LA(1)の値は右辺の通りですが、これは虚２次体の類数公式というものから求まります。下記の通り”１分割”の方法からも簡単に求まります。

はじめに少し準備します。「その７」で示した通り、次のように変形できます。

　LA(1)＝1 -1/2 +1/4 -1/5 +1/7 -1/8 +1/10 -1/11 +1/13 -1/14 +1/16 -1/17 +1/19 -1/20 +1/22 -1/23 +1/25 -1/26 + ・・・

　　＝(1 -1/5 + 1/7 -1/11 +1/13 -1/17 +1/19 -1/23 +1/25 -・・)+ (-1/2 +1/4 -1/8 +1/10 -1/14 +1/16 -1/20 +1/22 -1/26　+・・)

　　＝(1 -1/5 + 1/7 -1/11 +1/13 -1/17 +1/19 -1/23 +1/25 -・・) - 1/2(1 -1/2 +1/4 -1/5 +1/7 -1/8 +1/10 -1/11 +1/13 -・・)

　　＝(1 -1/5 + 1/7 -1/11 +1/13 -1/17 +1/19 -1/23 +1/25 -・・) -1/2LA(1)

右辺の２項目を左辺に移項して、

　　1 -1/5 + 1/7 -1/11 +1/13 -1/17 +1/19 -1/23 +1/25 -1/29 +1/31 -1/35 +・・ ＝3/2LA(1)

　となります。

　ここで、1 -1/5 + 1/7 -1/11 +1/13 -1/17 +1/19 -1/23 +1/25 -1/29 +1/31 -1/35 +・・＝La(1)

とおくと、

　 La(1)＝3/2LA(1) 　-----�A

となります。La(1)はLA(1)と本質的に同じゼータというわけです。以下でLa(1)が出てきます。

また�@、�Aより、

　 La(1)＝π/(2√3)-----�B

です。

　なお、LA()やLa()という記号は私が便宜的に用いているものです。一般的なものではないので注意してください。

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　では、LA(1)もしくはLa(1)の分割を示していきます。L(s)やζ(s)の場合と同様に１分割も含めました。

■LA(1)１分割

　A1＝1 -1/2 +1/4 -1/5 +1/7 -1/8 +1/10 -1/11 +1/13 -1/14 +1/16 -1/17 +1/19 -1/20 +1/22 -・・＝(π/3)tan(π/6)

　あえてtan()の形を残しました。tan(π/6)＝1/√3であり、右辺は�@右辺に一致します。

■La(1)２分割

A1＝ 1 -1/11 +1/13 -1/23 +1/25 -1/35 +・・ ＝(π/12)tan(5π/12)

A2＝1/5 -1/7 +1/17 -1/19 +1/29 -1/31 +・・＝(π/12)tan(π/12)

　A1 -A2＝La(1) であることを確認ください。上記式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、左辺の級数は右辺値に一致しました。

　右辺値の”A1 -A2”も�B右辺値に一致しました。

■LA(1)３分割

A1＝ 1 -1/8 +1/10 -1/17 +1/19 -1/26 +・・ ＝(π/9)tan(7π/18)

A2＝1/2 -1/7 +1/11 -1/16 +1/20 -1/25 +・・＝(π/9)tan(5π/18)

A3＝1/4 -1/5 +1/13 -1/14 +1/22 -1/23 +・・＝(π/9)tan(π/18)

　A1 -A2 +A3＝LA(1) であることを確認ください。上記式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、左辺の級数は右辺値に一致しました。

　右辺値の”A1 -A2 +A3”も�@右辺値に一致しました。

■La(1)４分割

A1＝ 1 -1/23 +1/25 -1/47 +1/49 -1/71 +・・ ＝(π/24)tan(11π/24)

A2＝1/5 -1/19 +1/29 -1/43 +1/53 -1/67 +・・＝(π/24)tan(7π/24)

A3＝1/7 -1/17 +1/31 -1/41 +1/55 -1/65 +・・＝(π/24)tan(5π/24)

A4＝1/11 -1/13 +1/35 -1/37 +1/59 -1/61 +・・＝(π/24)tan(π/24)

　A1 -A2 +A3 -A4＝La(1) であることを確認ください。上記式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、左辺の級数は右辺値に一致しました。

　右辺値の”A1 -A2 +A3 -A4”も�B右辺値に一致しました。

■LA(1)５分割

A1＝ 1 -1/14 +1/16 -1/29 +1/31 -1/44 +・・ ＝(π/15)tan(13π/30)

A2＝1/2 -1/13 +1/17 -1/28 +1/32 -1/43 +・・＝(π/15)tan(11π/30)

A3＝1/4 -1/11 +1/19 -1/26 +1/34 -1/41 +・・＝(π/15)tan(7π/30)

A4＝1/5 -1/10 +1/20 -1/25 +1/35 -1/40 +・・＝(π/15)tan(5π/30)

A5＝1/7 -1/8 +1/22 -1/23 +1/37 -1/38 +・・ ＝(π/15)tan(π/30)

　A1 -A2 +A3 -A4 +A5＝LA(1) であることを確認ください。上記式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、左辺の級数は右辺値に一致しました。

　右辺値の”A1 -A2 +A3 -A4 +A5”も�@右辺値に一致しました。

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　上の分割式の導出過程を簡単に述べます。次の部分分数展開式�Cを使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2) ---�C

　このxに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。

　�Cのxに1/3を代入すると、LA(1)の１分割が得られる。（�Cのxに2/3を代入すると、La(1)の１分割が得られる）

　�Cのxに5/6を代入すると、La(1)２分割のA1が得られる。

　�Cのxに1/6を代入すると、La(1)２分割のA2が得られる。

　注記：3/6(つまり1/2)を代入すると、L(1)そのもの（１分割）が得られる！

　�Cのxに7/9を代入すると、LA(1)３分割のA1が得られる。

　�Cのxに5/9を代入すると、LA(1)３分割のA2が得られる。

　�Cのxに1/9を代入すると、LA(1)３分割のA3が得られる。

　注記：3/9を代入すると、LA(1)そのもの（１分割）が得られる！

　�Cのxに11/12を代入すると、La(1)４分割のA1が得られる。

　�Cのxに7/12を代入すると、La(1)４分割のA2が得られる。

　�Cのxに5/12を代入すると、La(1)４分割のA3が得られる。

　�Cのxに1/12を代入すると、La(1)４分割のA4が得られる。

注記：9/12,3/12つまり3/4,1/4を代入すると、L(1)２分割が出る！⇒「その１４」

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12043_z2.htm

　�Cのxに13/15を代入すると、LA(1)５分割のA1が得られる。

　�Cのxに11/15を代入すると、LA(1)５分割のA2が得られる。

　�Cのxに7/15を代入すると、LA(1)５分割のA3が得られる。

　�Cのxに5/15を代入すると、LA(1)５分割のA4が得られる。⇒これはLA(1)そのもの（１分割）！ 上のA4を見られたし。

　�Cのxに1/15を代入すると、LA(1)５分割のA5が得られる。

注記：�Cのxに9/15(つまり3/5)や3/15（つまり1/15）を代入すると他種類のゼータが出る。考察中。

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　このようにしてLA(1)の分割ができました。

　きれいな規則にしたがってLA(1)の分身たちが生み出されています。基本規則は次の通りです。

　まず1/3代入で１分割が出ることに着目。「５分割を出したい！」場合は、3×5に着目して、x＝○/15を�Cに代入すればよいのです。

　いま気づきましたが、偶数分割ではLa(1)分割が、奇数分割ではLA(1)分割が出るようです（本質的には同じですが）。また奇数分割と偶数分割では、右辺値の形が違っています。面白いことです。

　ゼータ世界は美しい秩序で成り立っています。「その１０」でＱ(√-5)ゼータの４分割を見ましたが、今回のものやL(s)、ζ(s)の分割を見てきて、ディリクレのＬ関数Ｌ(χ,ｓ)の全部でn分割が可能（nは1以上の整数）となっている考えられます。一般的な証明は私には無理ですが、具体例を積み上げていき、確信の度合いを高めたいと考えます。Ｌ(χ,ｓ)には無数の２次体ゼータがあります。以上。　　（杉岡幹生）

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