ヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式の証明は，簡単でいてしかも面白い証明ですの是非お読みください．以下の証明を読めば，なにゆえをもってｎ＝２^k［（３／２）^k］−１が出てきて，ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋２^k−２がウェアリングの問題のかなりの範囲のところまで正しいことがわかるはずです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（Ｑ）ｋを正の整数として，ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１とするとき，ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^kと書かれるような最小の正の整数ｇを求めることにより，

　　ｇ（ｋ）≧２^k＋［（３／２）^k］−２

であることを示せ．

（Ａ）簡単のため，ｑ＝［（３／２）^k］とおく．このとき，

　　２^kｑ−１＜３^k

であるから，ｎをｋ乗数の和として表すときに１^kと２^kしか使えないことがわかる．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

のように，ｎ＝２^k＋・・・＋２^k＋・・・とできるだけ２^kを並べ，あとは１^k＋・・・＋１^kとすればよい．

　また，

　　ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１

は２^kを最大で［（３／２）^k］−１個含むことに注意すると

　　ｎ＝２^k｛［（３／２）^k］−１｝＋２^k−１

　つまり，２^kを［（３／２）^k］−１個，１^kを２^k−１個使って表すしかない．ｎをｋ常数の和として表すのに必要な最低限の個数は

　　ｇ＝［（３／２）^k］−１＋２^k−１

　よって，

　　ｇ（ｋ）≧２^k＋［（３／２）^k］−２

が成り立つ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝