【２】３平方和定理（ルジャンドルの定理）

　４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，

　　「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」

　□＋□＋□は４^K（８ｎ＋７）の形でないすべての整数を表現するというのが，ルジャンドルの定理です．この定理は，（その５１）のガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」の証明のところで，すでに紹介済みです．

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【３】４平方和定理（ラグランジュの定理）

　「任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．」

すなわち「ｎ＝□＋□＋□＋□」

　オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破しました（オイラー・ラグランジュの定理）．

　その証明中で用いられる基本公式が

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

で，１７４８年にオイラーによって証明されています．

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