ここでは，三角数について初等的に証明できる問題をいくつか紹介することにします．

　「３角数であり平方数であるものは無限に存在する．」

（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^2，すなわち，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２によって定義すると，

　　ａn^2−２ｂn^2＝（ａn＋ｂn√２）（ａn−ｂn√２）

　　　　　　　　　＝（１＋√２）^n（１−√２）^n＝（−１）^n

　また，（１＋√２）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（偶数），ｂn＝ｎ＋（偶数）

よって，ｎを偶数にとるとａn^2−２ｂn^2＝１，ａnは奇数，ｂnは偶数．

そこで，ｙ＝（ａn−１）／２，ｘ＝ｂn／２とおくと，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

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　「１以外の３角数は立方数ではない．」

（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^3は，（２ｙ＋１）^2＝（２ｘ）^3＋１と書き換えられるから，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3＋１の整数解に関する主張だと解釈できる．

　実は，これには整数点は（２，±３），（０，±１），（−１，０）の５つしかありません．また，この楕円曲線には有理点もやはりこの５つしかないのです．これより，１以外の３角数は立方数ではないことが導かれます．

　一方，ｙ^2＝ｘ^3−２は（３，±５）以外の整数点をもちません（ｙ^2＝ｘ^3−２の整数解について，古代ギリシアのディオファントスは，ｙ＝ｔ＋１，ｘ＝ｔ−１とおき，ｙ^2＝ｘ^3−２に代入するとｔ^2＋２ｔ＋１＝ｔ^3−３ｔ^2＋３ｔ−３．この式はｔ（ｔ^2＋１）＝４（ｔ^2＋１）と変形できるので，ｔ＝４すなわちｙ＝５，ｘ＝３が解であるとしています）．

　しかし，この曲線には，無数に有理点が得られます．たとえば，（１２９／１００，±３８３／１０００）．また，ｙ^2＝ｘ^3−４の整数点は（２，±２），（５，±１１）の４個のみですが，有理点は（１０６／９，±１０９０／２７）など無数個存在します．

　ところで，当該の楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋１の一般形は，バシェの方程式：

　　ｙ^2＝ｘ^3−ａ

と呼ばれるもので，一般に，バシェの方程式：ｙ^2＝ｘ^3−ａには有限個の整数解しかないのですが，たとえば，ａ＝−７に対しては１つも整数解がありません．また，ａ≠−１，４３２ならば曲線上には無限個の有理点があることがわかっています．

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