初項１，公差１，項数ｎの等差級数の場合は，合計

　　１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２　　（三角数）

　初項１，公差２，項数ｎの等差級数の場合は，合計

　　１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2　　（四角数）

　初項１，公差３，項数ｎの等差級数の場合は，合計

　　１＋４＋７＋・・・＋（３ｎ−２）＝ｎ（３ｎ−１）／２

　初項１，公差４，項数ｎの等差級数の場合は，合計　　（五角数）

　　１＋５＋９＋・・・＋（４ｎ−３）＝ｎ（２ｎ−１）

　初項１，公差５，項数ｎの等差級数の場合は，合計

　　１＋６＋１１＋・・・＋（５ｎ−４）＝ｎ（５ｎ−３）／２　　（六角数）

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　１から始まる等差数列の最初のｎ項を足すと，いろいろな多角数が得られる．

　１＋１＋１＋１＋１＋・・・からは自然数が得られる：１，２，３，４，５，・・・

　　１＋２＋３＋４＋５＋・・・からは三角数が得られる：１，３，６，１０，１５，・・・

　　１＋３＋５＋７＋１１＋・・・からは四角数が得られる：１，４，９，１６，２５，・・・

　　１＋４＋７＋１０＋１３＋・・・からは五角数が得られる：１，５，１２，２２，３５，・・・

　　１＋５＋９＋１３＋１７＋・・・からは六角数が得られる：１，６，１５，２８，４５，・・・

　一般に，ｍ角数の第ｎ項は，多角形の辺数ｍは公差よりも２だけ大きいことから，初項１，公差ｍ−２の等差数列の和：

　　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

で与えられることがわかります．

　多角数という名前はそれぞれの図形の点の配置に由来するもので，ピタゴラスらが興味をもった図形数ですから，代数的にではなく図形的に考えてみることにしましょう．そうすると，ｎ−１番目の三角数をΔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２とすると，多角形にΔn-1個の点からなる三角形を追加して作ることができるわけですから

　　ｎ＋（ｍ−２）Δn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

とも考えることができるのです．

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