最初のｎ個の立方数の和は平方数になります

　　（Σｋ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2）．

　フィボナッチはこれを次のように証明しました．

　　１^3＝１，２^3＝３＋５，３^3＝７＋９＋１１，４^3＝１３＋１５＋１７＋１９，５^3＝２１＋２３＋２５＋２７＋２９，・・・

　また，最初のｎ個の奇数の和は１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2 ，最初のｎ項までに現れる奇数の全項数は１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　よって，

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

が示されます．

　三角数とはｍ（ｍ＋１）／２の型の自然数のことと定義すると，任意の立方数は２つの三角数の平方数の差と表されることがわかります．すなわち，

　　ｙ^3＝｛ｙ（ｙ＋１）／２｝^2−｛ｙ（ｙ−１）／２｝^2

がこの証明の根拠となっていることが理解されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］１^3＋２^3＋３^3＋・・・は完全平方数ですが，はたして，この数は立方数になりうるでしょうか．

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＝１・１^2＋２・２^2＋３・３^2＋・・・

より，この関連問題は，ある１つの正方形を１辺１の正方形１個，１辺２の正方形２個，１辺３の正方形３個，以下同様・・・，によって充填する問題といい換えてもよいのですが・・・．

　また，１からはじめなくてもよければ，３^2＋４^2＝５^2，１８^2＋１９^2＋・・・＋２８^2＝７７^2，３^3＋４^3＋５^3＝６^3，１１^3＋１２^3＋１３^3＋１４^3＝２０^3など連続した平方（立方）数の和が平方（立方）数となることはあるのですが，ｙ^3＝｛ｘ（ｘ＋１）／２｝^2にｘ＝１，ｙ＝１以外の自明でない整数解はあるのでしょうか？

［Ａ］実は，ｘ＝１を除きｘ（ｘ＋１）／２は立方数にはならないことが示されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝