１＋２＋３＋・・・＋８＋９＋１０＝５５

　　１＋２＋３＋・・・＋１０＋１１＋１２＝７８

　　１＋２＋３＋・・・＋１５＋１６＋１７＝１５３

　　１＋２＋３＋・・・＋１８＋１９＋２０＝２１０

　　１＋２＋３＋・・・＋４８＋４９＋５０＝１２７５

　　１＋２＋３＋・・・＋９８＋９９＋１００＝５０５０

　　１＋２＋３＋・・・＋２０７＋２０８＋２０９＝２１９４５　　　

　一般に

　　１＋２＋３＋・・・＋（ｎ−２）＋（ｎ−１）＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　このように，ｍ（ｍ＋１）／２の形に書ける数を三角数と呼ぶ．△m

　　１，３，６，１０，１５，２１，２８，・・・

　　△10＝５５，△12＝７８，△17＝１５０，△20＝２１０

　　△50＝１２７５，△100＝５０５０，△209＝２１９４５

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　奇数を順番に足していくと次々に平方数ができる．

　　１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

　偶数を順番に足していくと・・・

　　２＋４＋６＋・・・＋（２ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）

となって，平方数にはならない．

　偶数の和ｎ（ｎ＋１）は

　　１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

より，三角数△n＝ｎ（ｎ＋１）／２の２倍である．

　一方，奇数の和は平方数となるが

　　１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ^2

　＝ｎ（ｎ＋１）／２＋ｎ（ｎ−１）／２

　＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）＋（１＋２＋３＋・・・＋ｎ−１）

より，２つの三角数の和の形に書くことができる．

　　□n＝△n＋△n-1

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　以上により

　　△2n＝２△n＋□n＝３△n＋△n-1

　　ｎ（２ｎ＋１）＝ｎ（ｎ＋１）＋ｎ^2＝３ｎ（ｎ＋１）／２＋ｎ（ｎ−１）／２

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