追跡曲線の弧長Ｌであるが，

　Ｌ＝∫(0,∞)（ｒ^2＋（ｄｒ／ｄθ）^2）^1/2ｄθ

　　＝∫(0,∞)ａｅｘｐ（−ｂθ）（１＋ｂ^2）^1/2ｄθ

　　＝［−ａｅｘｐ（−ｂθ）／ｂ・（１＋ｂ^2）^1/2］

　　＝ａ／ｂ・（１＋ｂ^2）^1/2

と計算される．

　　ｒ＝ａｅｘｐ（−ｂθ）

において，

　　ｂ＝ｔａｎ（π／ｎ）

また，正ｎ角形の１辺の長さを１，外接円の半径をＲとすると

　　Ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

であるが，ａ＝Ｒである．これを代入すると

　　Ｌ＝１／２（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

と求まる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　「等角らせんを直線に沿って転がすと，等角らせんの原点は直線を描くが弧長は，原点を頂点とする直角三角形の斜辺の長さに等しい．」という性質があるが，この性質を使って，追跡曲線の長さＬを計算してみると，

　正ｎ角形の１辺の長さを１，外接円の半径をＲとする．

　　Ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｌ／Ｒ＝１／ｃｏｓ（π／２−π／ｎ）＝１／ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｌ＝Ｒ／ｓｉｎ（π／ｎ）＝１／２（ｓｉｎ（π／ｎ））^2

と計算される．

　すなわち，追跡曲線の長さＬが辺の長さ１に等しくなるのは，ｎ＝４のときだけである．これは正方形の中心角が９０°だからであって，正三角形ではＬ＜１，正五角形ではＬ＞１であることが理解される．

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