［Ｑ］正方形の４つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．４匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正方形になり，元の正方形の中心で出会うことになる．このとき犬のたどる軌跡は？

［Ｑ］正三角形の３つの頂点の１匹ずつ犬がいる．それぞれ，同じ速さで隣の犬を追いかけたとする．それぞれの犬はいつも前方にいる犬に向かって同じスピードで進む．３匹の犬を結ぶ図形は回転しながら次第に小さくなる正三角形になり，元の正三角形の中心で出会うことになる．このとき犬のたどる軌跡は？

［Ａ］どちらも等角らせん

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　一般に，ｎ匹のイヌが正ｎ角形の頂点に１匹ずついたとして，それぞれ同じ速さで隣りのイヌを追いかけるとする．この場合も，イヌのたどる軌跡は等角らせんになる．

　ｎ＝４の追跡曲線は

　　［参］ウェルズ「不思議おもしろ幾何学事典」朝倉書店

の表紙デザインにもなっている．

　等角らせんの一部を拡大あるいは縮小したとしても，もとの等角らせんの別の部分と重なるから，等角らせんは自己相似である．したがって，

　　ｒ＝ａｅｘｐ（−ｂθ）

すなわち，中心角θが一致の角度進む毎に中心からの距離ｒの値が一定倍になる回転する正ｎ角形の頂点の軌跡を描けば，追跡曲線の等角らせんとなる渦巻き

　　（ｘ，ｙ）＝（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ）

を描くことができる．

　以下に，渦巻き図を掲げるが，θが１進む毎にｒの値はｅｘｐ（−ｂ）倍になるから，停止則は，ｅｘｐ（−ｂθ）＜０，０１になったときに設定してある．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］回転する正三角形の追跡問題

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］回転する正方形の追跡問題

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］回転する正五角形の追跡問題

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［４］回転する正六角形の追跡問題

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝