■エジプト三角形の作図(その8)

 3辺の長さ比が3:4:5の直角三角形は代表的かつ最小のピタゴラス三角形ですから,ピタゴラス三角形の大家族の元祖という意味で,エジプト三角形と呼ばれることもあります.

 ピタゴラス三角形のなかでも最も歴史的に由緒正しく最も象徴的な直角三角形なのです.したがって,3:4:5の直角三角形をどうやって作図する化という発想は古代よりあったものと思われますが,面白いことに3:4:5の直角三角形は正方形の中にもみることができます.

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【1】エジプト三角形の作図

 1辺の長さが8の正方形の頂点を

  A(−4,8)

  B(−4,0)

  C(4,0)

  D(4,8)

にとる.

 辺ADの中点M(0,8)と点B,中点Mと点Cを結ぶ.次に点BからCMに垂線を下ろし,垂線の足を点Fとする.このとき,三角形BMFはエジプト三角形になる.

(証)CMの方程式はy=−2x+8

   BFの方程式はy=1/2・x+2

→点F(12/5,16/5)はCMを2:3に内分する.

 三角形BMFは直角三角形で,

 BM=20√5/5,BF=16√5/5,MF=12√5/5

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