■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その１７，杉岡幹生）
これまで、L(1)、ζ(2)、L(3)他の分割（分裂）を報告してきましたが、ゼータがこのように分解可能（しかも無限に多く分解可能！）であることは驚くべきことに思えます。
今回は、リーマンゼータζ(s)のζ(4)、ζ(6)、ζ(8)の２分割、４分割、８分割を一挙に見てしまいます。そして最後に、前回予告していた私の予想を提示します。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
（その１３）と同様に、今回もζ(s)を変形した次のZ(s)を考察します。
Z(s)＝1 +1/3^s +1/5^s +1/7^s +1/9^s +1/11^s +・・ ----①
Z(s)は本質的にζ(s)に等しいものです。なぜなら次のように変形でき、Z(s)はζ(s)そのものだからです。
Z(s)＝1 +1/3^s +1/5^s +1/7^s +1/9^s +1/11^s +・・
＝1 +1/2^s +1/3^s +1/4^s + 1/5^s +1/6^s +1/7^s・・ - (1/2^s +1/4^s +1/6^s + ・・)
＝ζ(s) - 1/2^sζ(s)
＝(1-1/2^s)ζ(s) ----②
これよりζ(4)、ζ(6)、ζ(8)の２分割、４分割、８分割は、Z(4)、Z(6)、Z(8)の２分割、４分割、８分割を見ればよいとわかるので、以下それを見ていきます。ζ(4)、ζ(6)、ζ(8)の値は、ζ(4)＝π^4/90、ζ(6)＝π^6/945、ζ(8)＝π^8/9450ですから、②よりZ(4)、Z(6)、Z(8)の値は、Z(4)＝π^4/96、Z(6)＝π^6/960、Z(8)＝17π^8/161280となります。
なお、以下に示す分割は、本質的な分割（真の分割）です。上記Z(s)の①の姿は一見ζ(s)の分割（分裂）に見えますが、②のような形（ゼータ＝有理数×ゼータ）に変形できるので、それは仮の（見かけ）の分割に過ぎません。ご注意ください。統一的に見たいので”１分割”も加えた形で以下掲載します。
■Z(4)１分割
Z(4)＝1 +1/3^4 +1/5^4 +1/7^4 +1/9^4 +1/11^4 +・・＝(π/4)^4 {1+2(sin(π/4))^2} /{3(cos(π/4))^4}
右辺はπ^4/96になり、Z(4)＝π^4/96に一致します。以下も一緒に眺めると、右辺は美しい。
■Z(4)２分割
A1＝ 1 +1/7^4 +1/9^4 +1/15^4 + 1/17^4 +1/23^4 +・・＝(π/8)^4 {1+2(sin(3π/8))^2} /{3(cos(3π/8))^4}
A2＝1/3^4 +1/5^4 +1/11^4 +1/13^4 + 1/19^4 +1/21^4 +・・＝(π/8)^4 {1+2(sin(π/8))^2} /{3(cos(π/8))^4}
A1 +A2＝Z(4)となっています。A1,A2式に対しExcelマクロで数値検証を行いましたが、左辺の級数は右辺値に収束しました。
■Z(4)４分割
B1＝ 1 +1/15^4 +1/17^4 +1/31^4 +1/33^4 +1/47^4 +・・＝(π/16)^4 {1+2(sin(7π/16))^2} /{3(cos(7π/16))^4}
B2＝1/3^4 +1/13^4 +1/19^4 +1/29^4 +1/35^4 +1/45^4 +・・＝(π/16)^4 {1+2(sin(5π/16))^2} /{3(cos(5π/16))^4}
B3＝1/5^4 +1/11^4 +1/21^4 +1/27^4 +1/37^4 +1/43^4 +・・＝(π/16)^4 {1+2(sin(3π/16))^2} /{3(cos(3π/16))^4}
B4＝1/7^4 +1/9^4 +1/23^4 +1/25^4 +1/39^4 +1/41^4 +・・＝(π/16)^4 {1+2(sin(π/16))^2} /{3(cos(π/16))^4}
B1 +B2 +B3 +B4 ＝Z(4)となっています。B1～B4式に対しExcelマクロで数値検証を行いましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
■Z(4)８分割
C1 ＝ 1 +1/31^4 +1/33^4 +1/63^4 +1/65^4 +1/95^4 +・・＝(π/32)^4 {1+2(sin(15π/32))^2} /{3(cos(15π/32))^4}
C2＝1/3^4 +1/29^4 +1/35^4 +1/61^4 +1/67^4 +1/93^4 +・・＝(π/32)^4 {1+2(sin(13π/32))^2} /{3(cos(13π/32))^4}
C3＝1/5^4 +1/27^4 +1/37^4 +1/59^4 +1/69^4 +1/91^4 +・・＝(π/32)^4 {1+2(sin(11π/32))^2} /{3(cos(11π/32))^4}
C4＝1/7^4 +1/25^4 +1/39^4 +1/57^4 +1/71^4 +1/89^4 +・・＝(π/32)^4 {1+2(sin(9π/32))^2} /{3(cos(9π/32))^4}
C5＝1/9^4 + 1/23^4 +1/41^4 +1/55^4 +1/73^4 +1/87^4 +・・＝(π/32)^4 {1+2(sin(7π/32))^2} /{3(cos(7π/32))^4}
C6＝1/11^4 +1/21^4 +1/43^4 +1/53^4 +1/75^4 +1/85^4 +・・＝(π/32)^4 {1+2(sin(5π/32))^2} /{3(cos(5π/32))^4}
C7＝1/13^4 +1/19^4 +1/45^4 +1/51^4 +1/77^4 +1/83^4 +・・＝(π/32)^4 {1+2(sin(3π/32))^2} /{3(cos(3π/32))^4}
C8＝1/15^4 +1/17^4 +1/47^4 +1/49^4 +1/79^4 +1/81^4 +・・＝(π/32)^4 {1+2(sin(π/32))^2} /{3(cos(π/32))^4}
C1 +C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 +C8＝Z(4)となっています。C1～C8式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
■Z(6)１分割
Z(6)＝1 +1/3^6 +1/5^6 +1/7^6 +1/9^6 +1/11^6 +・・＝(π/4)^6 {2+11(sin(π/4))^2+2(sin(π/4))^4} /{15(cos(π/4))^6}
右辺は計算するとπ^6/960になり、Z(8)＝π^6/960に一致します。
■Z(6)２分割
A1＝ 1 +1/7^6 +1/9^6 +1/15^6 + 1/17^6 +1/23^6 +・・＝(π/8)^6 {2+11(sin(3π/8))^2+2(sin(3π/8))^4} /{15(cos(3π/8))^6}
A2＝1/3^6 +1/5^6 +1/11^6 +1/13^6 + 1/19^6 +1/21^6 +・・＝(π/8)^6 {2+11(sin(π/8))^2+2(sin(π/8))^4} /{15(cos(π/8))^6}
A1 +A2＝Z(6)となっています。A1,A2式に対しExcelマクロで数値検証を行いましたが、左辺の級数は右辺値に収束しました。
■Z(6)４分割
B1＝ 1 +1/15^6 +1/17^6 +1/31^6 +1/33^6 +1/47^6 +・・＝(π/16)^6 {2+11(sin(7π/16))^2+2(sin(7π/16))^4} /{15(cos(7π/16))^6}
B2＝1/3^6 +1/13^6 +1/19^6 +1/29^6 +1/35^6 +1/45^6 +・・＝(π/16)^6 {2+11(sin(5π/16))^2+2(sin(5π/16))^4} /{15(cos(5π/16))^6}
B3＝1/5^6 +1/11^6 +1/21^6 +1/27^6 +1/37^6 +1/43^6 +・・＝(π/16)^6 {2+11(sin(3π/16))^2+2(sin(3π/16))^4} /{15(cos(3π/16))^6}
B4＝1/7^6 +1/9^6 +1/23^6 +1/25^6 +1/39^6 +1/41^6 +・・＝(π/16)^6 {2+11(sin(π/16))^2+2(sin(π/16))^4} /{15(cos(π/16))^6}
B1 +B2 +B3 +B4 ＝Z(6)となっています。B1～B4式に対しExcelマクロで数値検証を行いましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
■Z(6)８分割
C1 ＝ 1 +1/31^6 +1/33^6 +1/63^6 +1/65^6 +1/95^6 +・・＝(π/32)^6 {2+11(sin(15π/32))^2+2(sin(15π/32))^4} /{15(cos(15π/32))^6}
C2＝1/3^6 +1/29^6 +1/35^6 +1/61^6 +1/67^6 +1/93^6 +・・＝(π/32)^6 {2+11(sin(13π/32))^2+2(sin(13π/32))^4} /{15(cos(13π/32))^6}
C3＝1/5^6 +1/27^6 +1/37^6 +1/59^6 +1/69^6 +1/91^6 +・・＝(π/32)^6 {2+11(sin(11π/32))^2+2(sin(11π/32))^4} /{15(cos(11π/32))^6}
C4＝1/7^6 +1/25^6 +1/39^6 +1/57^6 +1/71^6 +1/89^6 +・・＝(π/32)^6 {2+11(sin(9π/32))^2+2(sin(9π/32))^4} /{15(cos(9π/32))^6}
C5＝1/9^6 + 1/23^6 +1/41^6 +1/55^6 +1/73^6 +1/87^6 +・・＝(π/32)^6 {2+11(sin(7π/32))^2+2(sin(7π/32))^4} /{15(cos(7π/32))^6}
C6＝1/11^6 +1/21^6 +1/43^6 +1/53^6 +1/75^6 +1/85^6 +・・＝(π/32)^6 {2+11(sin(5π/32))^2+2(sin(5π/32))^4} /{15(cos(5π/32))^6}
C7＝1/13^6 +1/19^6 +1/45^6 +1/51^6 +1/77^6 +1/83^6 +・・＝(π/32)^6 {2+11(sin(3π/32))^2+2(sin(3π/32))^4} /{15(cos(3π/32))^6}
C8＝1/15^6 +1/17^6 +1/47^6 +1/49^6 +1/79^6 +1/81^6 +・・＝(π/32)^6 {2+11(sin(π/32))^2+2(sin(π/32))^4} /{15(cos(π/32))^6}
C1 +C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 +C8＝Z(6)となっています。C1～C8式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
■Z(8)１分割
Z(8)＝1 +1/3^8 +1/5^8 +1/7^8 +1/9^8 +1/11^8 +・・
＝(π/4)^8 {17+180(sin(π/4))^2+114(sin(π/4))^4+4(sin(π/4))^6} /{315(cos(π/4))^8}
右辺を計算すると17π^8/161280となり、Z(8)＝17π^8/161280に一致します。
■Z(8)２分割
A1＝ 1 +1/7^8 +1/9^8 +1/15^8 + 1/17^8 +1/23^8 +・・
＝(π/8)^8 {17+180(sin(3π/8))^2+114(sin(3π/8))^4+4(sin(3π/8))^6} /{315(cos(3π/8))^8}
A2＝1/3^8 +1/5^8 +1/11^8 +1/13^8 + 1/19^8 +1/21^8 +・・
＝(π/8)^8 {17+180(sin(π/8))^2+114(sin(π/8))^4+4(sin(π/8))^6} /{315(cos(π/8))^8}
A1 +A2＝Z(8)となっています。A1,A2式に対しExcelマクロで数値検証を行いましたが、左辺の級数は右辺値に収束しました。
■Z(8)４分割
B1＝ 1 +1/15^8 +1/17^8 +1/31^8 +1/33^8 +1/47^8 +・・
＝(π/16)^8 {17+180(sin(7π/16))^2+114(sin(7π/16))^4+4(sin(7π/16))^6} /{315(cos(7π/16))^8}
B2＝1/3^8 +1/13^8 +1/19^8 +1/29^8 +1/35^8 +1/45^8 +・・
＝(π/16)^8 {17+180(sin(5π/16))^2+114(sin(5π/16))^4+4(sin(5π/16))^6} /{315(cos(5π/16))^8}
B3＝1/5^8 +1/11^8 +1/21^8 +1/27^8 +1/37^8 +1/43^8 +・・
＝(π/16)^8 {17+180(sin(3π/16))^2+114(sin(3π/16))^4+4(sin(3π/16))^6} /{315(cos(3π/16))^8}
B4＝1/7^8 +1/9^8 +1/23^8 +1/25^8 +1/39^8 +1/41^8 +・・
＝(π/16)^8 {17+180(sin(π/16))^2+114(sin(π/16))^4+4(sin(π/16))^6} /{315(cos(π/16))^8}
B1 +B2 +B3 +B4 ＝Z(8)となっています。B1～B4式に対しExcelマクロで数値検証を行いましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
■Z(8)８分割
C1 ＝ 1 +1/31^8 +1/33^8 +1/63^8 +1/65^8 +1/95^8 +・・
＝(π/32)^8 {17+180(sin(15π/32))^2+114(sin(15π/32))^4+4(sin(15π/32))^6} /{315(cos(15π/32))^8}
C2＝1/3^8 +1/29^8 +1/35^8 +1/61^8 +1/67^8 +1/93^8 +・・
＝(π/32)^8 {17+180(sin(13π/32))^2+114(sin(13π/32))^4+4(sin(13π/32))^6} /{315(cos(13π/32))^8}
C3＝1/5^8 +1/27^8 +1/37^8 +1/59^8 +1/69^8 +1/91^8 +・・
＝(π/32)^8 {17+180(sin(11π/32))^2+114(sin(11π/32))^4+4(sin(11π/32))^6} /{315(cos(11π/32))^8}
C4＝1/7^8 +1/25^8 +1/39^8 +1/57^8 +1/71^8 +1/89^8 +・・
＝(π/32)^8 {17+180(sin(9π/32))^2+114(sin(9π/32))^4+4(sin(9π/32))^6} /{315(cos(9π/32))^8}
C5＝1/9^8 + 1/23^8 +1/41^8 +1/55^8 +1/73^8 +1/87^8 +・・
＝(π/32)^8 {17+180(sin(7π/32))^2+114(sin(7π/32))^4+4(sin(7π/32))^6} /{315(cos(7π/32))^8}
C6＝1/11^8 +1/21^8 +1/43^8 +1/53^8 +1/75^8 +1/85^8 +・・
＝(π/32)^8 {17+180(sin(5π/32))^2+114(sin(5π/32))^4+4(sin(5π/32))^6} /{315(cos(5π/32))^8}
C7＝1/13^8 +1/19^8 +1/45^8 +1/51^8 +1/77^8 +1/83^8 +・・
＝(π/32)^8 {17+180(sin(3π/32))^2+114(sin(3π/32))^4+4(sin(3π/32))^6} /{315(cos(3π/32))^8}
C8＝1/15^8 +1/17^8 +1/47^8 +1/49^8 +1/79^8 +1/81^8 +・・
＝(π/32)^8 {17+180(sin(π/32))^2+114(sin(π/32))^4+4(sin(π/32))^6} /{315(cos(π/32))^8}
C1 +C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 +C8＝Z(8)となっています。C1～C8式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。
タンジェントの部分分数展開式Ｇ[1](x)は次の通りです。
Ｇ[1](x)＝1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・＝(π/(4x))tan(πx/2)
今回はこれを３回、５回、７回微分して得られる次のＧ[4](x)、Ｇ[6](x)、Ｇ[8](x)を使います。
Ｇ[4](x)＝1/(1^2-x^2)^4 +1/(3^2-x^2)^4 +1/(5^2-x^2)^4 +・・
＝(π/(4x))^4 {1+2(sin(πx/2))^2} /{3(cos(πx/2))^4} + Others(x) ---③
Ｇ[6](x)＝1/(1^2-x^2)^6 +1/(3^2-x^2)^6 +1/(5^2-x^2)^6 +・・
＝(π/(4x))^6 {2+11(sin(πx/2))^2+2(sin(πx/2))^4} /{15(cos(πx/2))^6} + Others(x) ---④
Ｇ[8](x)＝1/(1^2-x^2)^8 +1/(3^2-x^2)^8 +1/(5^2-x^2)^8 +・・
＝(π/(4x))^8 {17+180(sin(πx/2))^2+114(sin(πx/2))^4+4(sin(πx/2))^6} /{315(cos(πx/2))^8} + Others(x) ---⑤
ここで右辺のOthers(x)は目的のゼータ値には関係しない項なので”Others(x)”としました。
上記③、④、⑤のxに特定の値を代入することで分割級数が次々に求まっていきます。以下の通りです。
③のxに値1/2を代入すると、Z(4)＝π^4/96が得られる。
③のxに値3/4を代入すると、Z(4)のA1が得られる。
③のxに値1/4を代入すると、Z(4)のA2が得られる。
③のxに値7/8を代入すると、Z(4)のB1が得られる。
③のxに値5/8を代入すると、Z(4)のB2が得られる。
③のxに値3/8を代入すると、Z(4)のB3が得られる。
③のxに値 1/8を代入すると、Z(4)のB4が得られる。
③のxに値15/16を代入すると、Z(4)のC1が得られる。
③のxに値13/16を代入すると、Z(4)のC2が得られる。
③のxに値11/16を代入すると、Z(4)のC3が得られる。
③のxに値 9/16を代入すると、Z(4)のC4が得られる。
③のxに値 7/16を代入すると、Z(4)のC5が得られる。
③のxに値 5/16を代入すると、Z(4)のC6が得られる。
③のxに値 3/16を代入すると、Z(4)のC7が得られる。
③のxに値 1/16を代入すると、Z(4)のC8が得られる。
同様にして、④を使ってZ(6)分割が、⑤を使ってZ(8)分割が求まります。以上。
このようにきれいな規則性でゼータの分割が実現されていきます。ζ(6)＝π^6/945などという単発的な値の裏側で、このような美しい構造が隠されていたというのは驚き以外のなにものでもありません。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
