正単体では

　　Ｒ＝ｎρ

であることはよく知られている．一方，Ａn格子の場合は，直交していないので距離を求めるのが難しい．

　問題を整理すると

［１］ｎが奇数のとき

　　（Ｒ／ρ）^2＝（ｎ＋１）／２

［２］ｎが偶数のとき

　　（Ｒ／ρ）^2＝ｎ（ｎ＋２）／２（ｎ＋１）

を証明するために，

　　Ｐ0Ｐj^2＝｛ｊ（ｎ＋１−ｊ）｝，ｊ＝１〜ｎ

の最長辺を求めてみたところ．

［１］ｎが奇数のとき，

　　ｊ＝（ｎ＋１）／２→Ｒ^2＝ｊ（ｎ＋１−ｊ）＝（ｎ＋１）^2／４

［２］ｎが偶数のとき，

　　ｊ＝ｎ／２

　　Ｒ^2＝ｊ（ｎ＋１−ｊ）＝ｎ（ｎ＋２）／４

であった．

　したがって，垂線の足の長さが

［１］ｎが奇数のとき，

　　ρ^2＝２Ｒ^2／（ｎ＋１）＝（ｎ＋１）／２

［２］ｎが偶数のとき，

　　ρ^2＝２（ｎ＋１）Ｒ^2／ｎ（ｎ＋２）＝（ｎ＋１）／２

であることを示せればよいことになる．

　すなわち，ｎの奇偶に関わらず，どちらも同じ形になることが示すことになる．さらに，最短辺の長さで正規化すると

　　ρ^2＝（ｎ＋１）／２ｎ

となって，これは辺の長さ１の正単体と同じ高さである．

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