【１】Ｄnの局所幾何学

［１］ｎ−１次元正単体２^n-1個とｎ−１次元半立方体２ｎ個からなる．

［２］２^n-1＋２ｎ胞体．

［３］ファセットが，各頂点まわりのｎ＝（ｎ，１）個ずつ集まる．

［４］ｎ−２次元正単体が，各頂点まわりの２（ｎ，２）個

　　　ｎ−２次元半立方体が，各頂点まわりの（ｎ，２）個集まる．

［５］ｎ−３次元正単体が，各頂点まわりの３（ｎ，３）個

　　　ｎ−３次元半立方体が，各頂点まわりの（ｎ，３）個集まる．

［６］ｎ−ｋ次元正単体が，各頂点まわりのｋ（ｎ，ｋ）個

　　　ｎ−ｋ次元半立方体が，各頂点まわりの（ｎ，ｋ）個集まる．

　これはｎ−ｋ＝１，２の場合でも成り立つのであろうか？　この式を検証してみよう．

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　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（４，６，４）　　　（正四面体）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（８，２４，３２，１６）　　　（正１６胞体）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１６，８０，１６０，１２０，１６＋１０）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（３２，２４０，６４０，６４０，１９２＋６０，３２＋１２）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（６４，６７２，２２４０，２８００，１３４４＋２８０，４４８＋８４，６４＋１４）

　ｆ2は正三角形，ｆ3は正四面体，ｆ4以上で２種類の形の各々の和

である．

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　頂点次数をｍとして

　　ｆ1＝ｍ／２・ｆ0

　２次元：ｍ＝１

　３次元：ｍ＝３

　４次元：ｍ＝６

　５次元：ｍ＝１０

　６次元：ｍ＝１５

　７次元：ｍ＝２１

一般に，ｍ＝ｎ（ｎ−１）／２

　　ｆ2＝ｋ／３・ｆ0

　３次元：ｋ＝３

　４次元：ｋ＝１２

　５次元：ｋ＝３０

　６次元：ｋ＝６０

　７次元：ｋ＝１０５

一般に，ｋ＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／２，ｎ＞３

　ｆ3はどちらの方法でも求めることができるが，ここでは

　　ｆ3＝ｋ／４・ｆ0

を用いる．

　３次元：ｋ＝４

　４次元：ｋ＝８

　５次元：ｋ＝３０

　６次元：ｋ＝８０

　７次元：ｋ＝１７５

　この一般式は

　　ｋ（ｎ，ｋ）＋（ｎ，ｋ）

において，ｋ＝ｎ−３としたものになるから，

　　（ｎ−２）（ｎ，３）＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）^2／６，ｎ＞３

になるはずである．

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［まとめ］

　局所幾何学の結果も大域幾何学の結果に呼応したものといえる．

　　ｆ1＝ｎ（ｎ−１）／４・ｆ0

　　ｆ2＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６・ｆ0，ｎ＞３

　　ｆ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）^2／２４・ｆ0，ｎ＞３

　　ｆk＝｛ｋ（ｎ，ｋ）／（ｎ−ｋ＋１）＋（ｎ，ｋ）／２^n-k-1｝ｆ0

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