【１】Ｄnの大域幾何学

　半立方体では

　３次元：（４，６，４）　　　（正四面体）

　４次元：（８，２４，３２，１６）　　　（正１６胞体）

　５次元：（１６，８０，１６０，１２０，２６）

　６次元：（３２，２４０，６４０，６４０，２５２，４４）

　７次元：（６４，６７２，２２４０，２８００，１６２４，５３２，７８）

であるが，漸化式を解くと，

　　ｆ（ｎ，０）＝２^n-1

　　ｆ（ｎ，１）＝２^n-2（ｎ−１）ｎ／２

　　ｆ（ｎ，２）＝２^n-2ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／３

　　ｆ（ｎ，３）＝２^n-4ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）^2／３

　　ｆ（ｎ，ｎ−１）＝２^n-1＋２ｎ

が得られる．

　検証してみると

　　ｆ（ｎ，０）＝２^n-1　→　ＯＫ

　　ｆ（ｎ，１）＝２^n-2（ｎ−１）ｎ／２　→　ＯＫ

　　ｆ（ｎ，２）＝２^n-2ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／３　→　ＯＫ

　　ｆ（ｎ，３）＝２^n-4ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）^2／３　→　ＯＫ

　　ｆ（ｎ，ｎ−１）＝２^n-1＋２ｎ　→　ｎ＞３のとき，ＯＫ

であった．

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！｛２^n-1（ｎ−ｋ）＋２^n-k（ｋ＋１）｝

ときれいな形にまとまった．これは

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝ｎ次元立方体のｋ面数＋２^n-k-2（ｎ次元立方体のｎ−ｋ−１面数）

になっている．この式を検証してみたところ，・・・

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［１］ｋ＝２のとき

　　ｆ（ｎ，２）＝ｎ（ｎ−１）／６｛２^n-1（ｎ−２）＋２^n-2・３｝

＝ｎ（ｎ−１）／６・｛２^n-2（２ｎ−１）｝→ＮＧ

　正しくは

　　ｆ（ｎ，２）＝２^n-2ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／３

［２］ｋ＝３のとき

　　ｆ（ｎ，３）＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／２４・｛２^n-1（ｎ−３）＋２^n-1｝

＝２n-1ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）^2／２４→ＯＫ

［３］ｋ＝ｎ−１のとき

　　ｆ（ｎ，ｎ−１）＝ｎ！／ｎ！｛２^n-1＋２ｎ｝＝２^n-1＋２ｎ→ＯＫ

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【まとめ】

　　ｆ（ｎ，０）＝２^n-1

　　ｆ（ｎ，１）＝２^n-2（ｎ−１）ｎ／２

　　ｆ（ｎ，２）＝２^n-2ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／３

　　ｆ（ｎ，３）＝２^n-4ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）^2／３

　　ｆ（ｎ，ｋ）＝ｎ！／（ｋ＋１）！（ｎ−ｋ）！｛２^n-1（ｎ−ｋ）＋２^n-k（ｋ＋１）｝　　ｋ＞２のとき

　　ｆ（ｎ，ｎ−１）＝２^n-1＋２ｎ　→　ｎ＞３のとき

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