ｎ次元コンパクト凸多面体（頂点数ｆ0）のｆjに関するモツキンの上限予想とは，多くとも頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのそれであるというものである．＝ｆ0頂点のｎ多面体の中で，もっとも多い面をもつのは巡回多面体である．

　　ｆj≦（頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのｆj）

　この上限予想はマクマレンによって１９７０年に証明され（マクマレンの上限定理），その後，スタンレーによって可換環論的再証明が与えられている．そこでは，ｆベクトルとｈベクトルの関係が母関数を使って大変見通しよく説明することができている．

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［１］ｆベクトルとｈベクトル

　ｆベクトルを係数とするｒ次の多項式を

　　Ｆ（ｔ）＝Σ(0,r)ｆj-1ｔ^j，ｆ-1＝１

と定義する．

　このとき，

　　Ｈ（ｔ）＝（１－ｔ）^rＦ（ｔ／（１－ｔ））＝Σ(0,r)ｆj-1ｔ^j（１－ｔ）^r-j

はｒ次の多項式の多項式であり

　　Ｈ（ｔ）＝Σ(0,r)ｈpｔ^p

と書くことができる．

　また，反転公式は

　　Ｆ（ｔ）＝（１＋ｔ）^rＨ（ｔ／（１＋ｔ））

で

　　ｈp＝Σ(0,p)（－１）^p-j（ｒ－ｊ，ｒ－ｐ）ｆj-1，０≦ｐ≦ｒ

　　ｆj-1＝Σ(0,j)（ｒ－ｐ，ｒ－ｊ）ｈp，０≦ｊ＜ｒ

となる．したがって，ｆベクトルを与えることはｈベクトルを与えることと同値となる．

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［２］上限予想

　上限予想は

　　ｈp≦（ｆ0－ｒ＋ｐ－１，ｐ），０≦ｐ≦ｒ

と同値になる．

　また，ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（－１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（－１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

　　Σ(0,k)（－１）^k-j（ｎ－ｊ，ｎ－ｋ）ｆj-1＝Σ(0,n-k)（－１）^n-k-j（ｎ－ｊ，ｋ）ｆj-1

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（－１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1

は

　　ｈp＝ｈr-p，０≦ｐ≦ｒ

と同値になる．

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