ｎ次単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式

　　（－１）^(n-1)ｆk＝Σ(k,n-1)（－１）^j（ｊ＋１，ｋ＋１）ｆj

が成り立つ．

　　－１≦ｋ≦ｎ－１

であるが，ｋ＝ｎ－１の場合は自明．ｋ＝－１の場合はｆ-1＝ｆn＝１とみなせば，オイラーの関係式になる．

　ｋ＝ｎ－１の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ－１であるから

　　（－１）^(n-1)ｆn-1＝（－１）^n-1ｆn-1

　ｋ＝－１の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ－１であるから

　　（－１）^(n-1)ｆ-1＝－ｆ-1＋ｆ0－ｆ1＋・・・＋（－１）^(n-1)ｆn-1

ｋ＝ｎ－２の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ－１であるから

　　（－１）^(n-1)ｆn-2＝（－１）^n-2ｆn-2＋（－１）^n-1ｎｆn-1

　　ｆn-2＝－ｆn-2＋ｎｆn-1

ｋ＝ｎ－３の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ－１であるから

　　（－１）^(n-1)ｆn-3＝（－１）^n-3ｆn-3＋（－１）^n-2（ｊ＋１，ｋ＋１）（ｎ－１）ｆn-2＋（－１）^n-1ｎ（ｎ－１）／２ｆn-1

　　ｆn-3＝ｆn-3－（ｎ－１）ｆn-2＋ｎ（ｎ－１）／２ｆn-1

ｋ＝ｎ－４の場合，ｋ≦ｊ≦ｎ－１であるから

　　（－１）^(n-1)ｆn-4＝（－１）^n-4ｆn-4＋（－１）^n-3（ｎ－２）ｆn-3＋（－１）^n-2（ｎ－１）（ｎ－２）／２ｆn-2＋（－１）^n-1ｎ（ｎ－１）ｎ－２）／６ｆn-2

　　ｆn-4＝－ｆn-4＋（ｎ－２）ｆn-3－（ｎ－１）（ｎ－２）／２ｆn-2＋ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）／６ｆn-2

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　このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

　　Σ(0,k)（－１）^k-j（ｎ－ｊ，ｎ－ｋ）ｆj-1＝Σ(0,n-k)（－１）^n-k-j（ｎ－ｊ，ｋ）ｆj-1

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（－１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1

　　ｆk-1＝Σ(k,n)（－１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1，ｋ≦ｊ≦ｎ

において，ｋ＝ｎとすると

　　ｆn-1＝ｆn-1

ｋ＝０とすると

　　ｆ-1＝（－１）^n（ｆ-1－ｆ0＋ｆ1－・・・＋ｆn-1）

ｋ＝ｎ－１とすると

　　ｆn-2＝－ｆn-2＋ｎｆn-1　　（一致）

ｋ＝ｎ－２とすると

　　ｆn-3＝ｆn-3－（ｎ－１）ｆn-2＋ｎ（ｎ－１）／２ｆn-1　　（一致）

ｋ＝ｎ－３とすると

　　ｆn-4＝－ｆn-4＋（ｎ－２）ｆn-3－（ｎ－１）（ｎ－２）／２ｆn-2＋ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）／６ｆn-1　　（一致）

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