【１】デーン・サマービル関係式

　各頂点がｎ本の辺上にあるｎ価のｎ次多面体（単純多面体）に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

が成り立つ．

　ｋ次元面はｎ−ｋ個のファセットの共通部分に含まれる，残りのｎ−ｊ個のファセット上のあるものを引いて，引き過ぎた分を足し直してということを繰り返した包除公式である．

　単純ｎ次多面体に対して，与えられたｊ次面を含むｋ次面の数は（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）になる．ｋ＝ｎのときがオイラー関係式

　　ｆn＝Σ(0,n)（−１）^jｆj

であるが，オイラー関係式は単純多面体だけでなく任意の多面体に対して成り立つ．

　デーンは１９０５年に５次元においてこの関係式を証明した．およそ２０年後の１９２７年，サマービルが一般の場合を証明した．

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　ｋ＝ｎのときがオイラー関係式

　　ｆn＝Σ(0,n)（−１）^jｆj

である．

　ｋ＝０のとき，ｆ0＝ｆ0

ｋ＝１のとき，ｆ1＝ｎｆ0−ｆ1

ｋ＝２のとき，ｆ2＝ｎ（ｎ−１）／２ｆ0−（ｎ−１）ｆ1＋ｆ2

ｋ＝３のとき，ｆ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆ1＋（ｎ−２）ｆ2−ｆ3

ｋ＝４のとき，ｆ4＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２４ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／６ｆ1＋（ｎ−２）（ｎ−３）／２ｆ2−（ｎ−３）ｆ3＋ｆ4

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　単体的多面体に対して

　　ｆn-1＝ｆn-1

　　２ｆn-2＝ｎｆn-1

　　２ｆn-4＝（ｎ−２）ｆn-3−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆn-2−ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆn-1

　単純多面体に対して

　　ｆ0＝ｆ0

　　２ｆ1＝ｎｆ0

　　２ｆ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆ1＋（ｎ−２）ｆ2

＝（ｎ−２）ｆ2−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆ1＋ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆ0

　係数をそろえてｆの添字を調べてみると，足してｎ−１であるから

　　　　　　ｋ　　←→　　ｎ−ｋ−１

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　単純多面体に対して

　　２ｆ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆ1＋（ｎ−２）ｆ2

より

２ｆ2k+1＝Σ(0,2k)（−１）^j（ｎ−ｊ，２ｋ＋１−ｊ）ｆj

となりそうである．もう少し調べてみたい．

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