ゼータの分割に関し、リーマンゼータζ(ｓ)も分割可能とわかりましたので報告します。

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　先日、L(s)ゼータの分割を報告した際、最後で「リーマンゼータζ(s)だけは例外であり、分割はできないはず」などと言ったのですが、私の勘違いでした。

　今回ζ(2)の４分割に成功しました。もちろん本質的な分割（真の分割）です。以下に示します。

　ζ(2)の分割を試みますが、すこし変形した次のZ(2)を考

察します。

　Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・

=π^2/8

ほとんど自明と思いますが、これはZ(2)は本質的にζ(2)に等しいものです。なぜなら次のように変形でき、Z(2)はζ(2)そのものと言えるからです。

Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・

＝1 +1/2^2 +1/3^2 +1/4^2 + 1/5^2 +1/6^2 +1/7^2・・ - (1/2^2 +1/4^2 +1/6^2 + ・・)

＝ζ(2) - 1/2^2ζ(2)

＝（1-1/2^2）ζ(2)

＝（3/4）ζ(2) ------�@

さて今回、Z(2)の４分割ができたわけですが次の通りです。

■４分割

A1＝ 1 + 1/15^2 +1/17^2 +1/31^2 + 1/33^2 +1/47^2 +・・

＝(π/16)^2 /{cos(7π/16)}^2

A2＝1/3^2 +1/13^2 +1/19^2 +1/29^2 + 1/35^2 +1/45^2 +・・

＝(π/16)^2 /{cos(5π/16)}^2

A3＝1/5^2 +1/11^2 +1/21^2 +1/27^2 + 1/37^2 +1/43^2 +・・

＝(π/16)^2 /{cos(3π/16)}^2

A4＝1/7^2 +1/9^2 +1/23^2 +1/25^2 + 1/39^2 +1/41^2 +・・

＝(π/16)^2 /{cos(π/16)}^2

1/cos()の部分を計算した結果は、以下の通りです。

1/{cos(7π/16)}^2＝ 8 +4√2 + 4√(2+√2) +2√(4+2√2)

1/{cos(5π/16)}^2＝ 8 -4√2 + 4√(2-√2) -2√(4-2√2)

1/{cos(3π/16)}^2＝ 8 -4√2 - 4√(2-√2) +2√(4-2√2)

1/{cos(π/16)}^2 ＝ 8 +4√2 - 4√(2+√2) -2√(4+2√2)

これらはZ(2)すなわちζ(2)に対する”真の分割”となっています。

注記：上記�@のZ(2)は”見せかけの分割（分身）”です。分割された級数＝（有理数）×ゼータの形にできるのはすべて”見せかけの分割”となります。A1,A2,A3,A4は、そうできないので”真の分割”です。

　A1 +A2 +A3 +A4 ＝Z(2)＝（3/4）ζ(2)＝π^2/8 であることが容易にわかります。

　上記４式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。

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　上記式の導出過程を簡単に述べます。ゼータの香りの漂う公式

　1/(1^2+a^2) +1/(3^2+a^2) +1/(5^2+a^2) +1/(7^2+a^2) +・・

＝(π/(4a))・{e^(aπ)-1}/{e^(aπ)+1}

をaについて１回微分した次の式を使います。

　1/(1^2+a^2)^2 +1/(3^2+a^2)^2 +1/(5^2+a^2)^2 +1/(7^2+a^2)^2 +・・

＝(π/(8a^3))・{e^(aπ)-1}/{e^(aπ)+1}-(π^2/(4a^2))・e^(aπ)/{e^(aπ)+1}^2 ----�A

　このaに次の複素数を代入することで、分割された級数が求まります。

　�Aのaに複素数7i/8を代入すると、A1が得られる。

　�Aのaに複素数5i/8を代入すると、A2が得られる。

　�Aのaに複素数3i/8を代入すると、A3が得られる。

　�Aのaに複素数 i/8を代入すると、A4が得られる。

以上。

計算をしていると感じることですが、ゼータの分身たちは、三角関数の対称性から生まれています。対称性の美しい秩序から次々に湧き出ているのです。上記の1／cos()の計算結果を見てもらうと、その対称性を感じてもらえると思います。

　ゼータの香りの漂う公式は、ゼータのすみかに通じる道といえます。一見そんなところに通じているようには見えないのですが、ゼータの巨大空間に通じる抜け道でありました。オイラーはこの景色を見たのでしょうか。

　まだ実験を続ける必要はありますが、ζ(s)もL(s)と同様に他の分割もできて、さらには無限に多く分割できるように思えます。　　　（杉岡幹生）

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