オイラーは素数の逆数和が無限大に発散することを示した．

　　Σ１／ｐ＝∞

これは素数の個数が無限個あることを精密化したものである．そして　さらなる精密化として

　　Σ１／ｐ～ｌｏｇｌｏｇｘ

と表している

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　ここで素数の密度関数φ（ｘ）を考える．

　　π（ｘ）～∫(0,x)φ（ｔ）ｄｔ

すると

　　Σ１／ｐ～∫(0,x)φ（ｔ）／ｔｄｔ～ｌｏｇｌｏｇｘ

　ｘについて微分すると

　　φ（ｘ）／ｘ～１／ｘｌｏｇｘ

　　φ（ｘ）～１／ｌｏｇｘ

となって，素数定理

　　π（ｘ）～ｌｏｇｘ／ｘ

を推測することができるのである．

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