■オイラー積の仲間達(その10)

 オイラーは素数の逆数和が無限大に発散することを示した.

  Σ1/p=∞

これは素数の個数が無限個あることを精密化したものである.そして さらなる精密化として

  Σ1/p~loglogx

と表している

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 ここで素数の密度関数φ(x)を考える.

  π(x)~∫(0,x)φ(t)dt

すると

  Σ1/p~∫(0,x)φ(t)/tdt~loglogx

 xについて微分すると

  φ(x)/x~1/xlogx

  φ(x)~1/logx

となって,素数定理

  π(x)~logx/x

を推測することができるのである.

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