■オイラーと整数の分割関数(その24)

 ほぼ1の数を無限にかけたら発散するだろうか.それとも収束するだろうか.

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【1】無限積の収束

 無限積Π(1+an)は,無限級数Σ|an|が収束するならば収束する.したがって,

[1]Π((2n−1)/2n)=Π(1+1/2n)

   an=−1/2n → Σan=(収束)

   Π((2n−1)/2n)=0

[2]Π(1−1/2^n)

   an=−1/2^n → Σ|an|=1(収束) 

   Π(1−1/2^n) → (収束,超越数)

[3]テータ関数,|q|<1のとき

   Θ1=Π(1+q^2n) → 収束

   Θ2=Π(1+q^2n-1) → 収束

   Θ3=Π(1−q^2n-1) → 収束

   Θ4=Π(1−q^2n) → 収束

   Θ1Θ2Θ3Θ4=Θ4,Θ1Θ2Θ3=1

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【2】無限積の無限級数展開

[1]オイラー積

  Π1/(1−1/pi^2)=Σ1/k^2=π^2/6

[2]オイラーの5角数定理

  Π(1−x^n)=Σ(−1)^k・x^k(3k-1)/2

 |x|<1のときは収束し,極限値として一致する.たとえば,x=1/2のとき,

  Π(1−1/2^n)=Σ(−1)^k・(1/2)^k(3k-1)/2

=1−1/2−(1/2)^2+(1/2)^5+(1/2)^7−(1/2)^12−(1/2)^15+(1/2)^22+(1/2)^26−・・・

=0,289(10進法)

=0.0100100111101110000001000011・・・(2進法)

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