ｋ（ｋ＋１）／２という形の整数を三角数，ｋ^2という形の整数を四角数，ｋ（３ｋ−１）／２という形の整数を五角数といいます．一般に，

　　ｋ（（ｍ−２）ｋ−ｍ＋４）／２

という形の整数をｍ角数といいます．

　(a)オイラーの五角数定理（１７５０年）

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))　　　n:1~∞，m:-∞~∞，m(3m-1)/2は五角数

　(b)ヤコビの三角数定理（１８２９年）

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　n:1~∞，m:0~∞，(m^2+m)/2は三角数

はヤコビの三重積公式を使うとあっさり証明できます．まず，それをみていくことにしましょう．

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［注］［２］［３］にはミスがあるのではないかと杉岡幹生氏に指摘された．『ｋ（ｋ−１）／２という形の整数を三角数，ｋ^2という形の整数を四角数，ｋ（３ｋ−１）／２という形の整数を五角数といいます．一般に，ｋ（（ｍ−２）ｋ＋ｍ−４）／２という形の整数をｍ角数といいます．』がそれである．

　慣用の定義を記しておくと『ｋ（ｋ＋１）／２という形の整数を三角数，ｋ^2という形の整数を四角数，ｋ（３ｋ−１）／２という形の整数を五角数といいます．一般に，ｋ（（ｍ−２）ｋ−ｍ＋４）／２という形の整数をｍ角数といいます．』であるが，これらの数の類似性から負の値での同じ形の数，たとえば，

　　（３ｎ^2−ｎ）／２　→　（３ｎ^2＋ｎ）／２　→　（３ｎ^2±ｎ）／２

もまた五角数と呼ばれる．

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【１】ヤコビの３重積公式

　　(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)

なる記号を導入すると

　　(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)

になるが，ヤコビの３重積公式

　　Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

は

　　(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m x=-z

と表現される．ヤコビの３重積公式はテータ関数そのものを表している．

［１］ヤコビの３重積公式において，ｑをすべてｑ^3に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺はΠ(1-q^3n)(1-q^3n-1)(1-q^3n-2)=Π(1-q^n)=(q;q)∞となり，

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2)　　　（オイラーの５角数定理）

と表される．

　オイラーは

(1)ｎが五角数でない限り，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数と奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数が等しいこと，

(2)ｎが五角数ならば，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数−奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数＝（−１）^k，ｎ＝ｋ（３ｋ＋１）／２

を示したことになる．

［２］また，ｑをすべてｑ^2に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺は

　　Π(1-q^2n)(1-q^2n-1)^2

ここで，異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという結果に対応する

　　Π(1-q^2n-1)=Π1/(1+q^n)

より，

　　Π(1-q^n)/(1+q^n)=Σ(-1)^m･q^(m^2)

［３］今度はｘ＝−ｑとすれば，(-1;q)∞=2Π(1+q^n)より，左辺は

　　2Π(1-q^2n)(1+q^n-1)=2Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)

右辺はΣ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)であるが，m(m+1)/2はm=-1/2について対称であるから和を取る範囲をm:-∞~∞からm:0~∞に狭めることができて

　　Σ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)=2Σ(0~∞)q^(m(m+1)/2)

これより

　　Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)=Σq^(m(m+1)/2)　　m:0~∞

［４］ｘ＝δとすれば，

　　(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=(1-δ)(δq;q)∞(q/δ;q)∞(q;q)∞

　　Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m=Σ(1~∞)(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･(δ^m-δ^-m+1)=Σ(0~∞)(-1)^m+1･q^(m(m+1)/2)･δ^-m(δ^2m+1-1)

両辺を(1-δ)で割り，δ→１とすれば，

　　左辺→Π(1-q^n)^3

　　右辺→Σ(0~∞)(-1)^m-1･(2m+1)q^(m(m+1)/2)

より，

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　（ヤコビの３角数定理）

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