■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その７，杉岡幹生）
虚２次体Q(√-3)ゼータLA(s)のs=1のLA(1)ゼータ
LA(1)＝1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + 1/10 - 1/11 + 1/13 - 1/14 + 1/16 - 1/17 + 1/19 - 1/20 + 1/22 - 1/23 + 1/25 - 1/26 + ・・・
＝π/(3√3) ----①
から”枝分かれした級数”の値が求まったので、お知らせします。
なお、LA(s)はL関数L(χ,s)の一種で次のゼータです。
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + 1/13^s - 1/14^s + 1/16^s - 1/17^s + 1/19^s - 1/20^s + 1/22^s - ・・
（Q(√-3)ゼータ、導手N=3, n≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(n)＝0, 1, -1）
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結論を述べますと、次が出ました。
1 - 1/5 + 1/7 - 1/11 + 1/13 - 1/17 + 1/19 - 1/23 + 1/25 - 1/29 + 1/31 - ・・
＝π/(2√3) ---②
- 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/10 - 1/14 + 1/16 - 1/20 + 1/22 - 1/26 + 1/28 -・・・
＝-π/(6√3) ----③
②と③を辺々足せば、①になります！ ②と③の導出方法の概要を述べます。次のゼータの香りの漂う公式を使います。
1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+
a^2) + ・・
＝(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1)
このaに複素数i/3を代入すると、まず①が求まります。次にaに複素数2i/3を代入すると、②が求まります。そして①から②を引くと、③が出ます。
②と③は、①が二つに枝分かれしたものと言えますが、このような値はふつうは求めるのがむずかしいと思いますが、今回このように簡単に出ました。
１次の式は簡単に出ますが、高次になるにつれて計算が面倒になっていくはずです。しかし^3や^5の高次でも、”枝分かれ級数”が求まっていくと思います。
今回は、二つに枝分かれしましたが、四つに枝分かれした級数は求まるのか？
８個の枝分かれはどうか？など、次々に疑問（問題）が湧いてきますが、わからないことだらけです。
なお、本結果の詳細はサイトをご参照ください。
http://www5b.biglobe.ne.jp/~sugi_m/page222.htm
以上。 （杉岡幹生）
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［追記］上記の結果に対して、お詫びと訂正があります。
じつは上記の枝分かれ級数の結果は本質的には意味がないものとわかりました。Sugimoto氏から
①+1/1 -1/2 +1/4 -1/ 5 +1/ 7 -1/ 8 +1/10 -1/11 +… = π/(3√3)
③-1/2 +1/4 -1/8 +1/10 -1/14 +1/16 -1/20 +1/22 -… =-π/(6√3)
において ①の-1/2倍が③なので同じ式である、との指摘がありました。
説明しますと、LA(1)は次のように変形することができます。
LA(1)＝1 -1/2 +1/4 -1/5 +1/7 -1/8 +1/10 -1/11 +1/13 -1/14 +1/16 -1/17 +1/19 -1/20 +1/22 -1/23 +1/25 -1/26 + ・・・
＝(1 -1/5 + 1/7 -1/11 +1/13 -1/17 +1/19 -1/23 +1/25 -・・)+ (-1/2 +1/4 -1/8 +1/10 -1/14 +1/16 -1/20 +1/22 -1/26 +・・)
＝(1 -1/5 + 1/7 -1/11 +1/13 -1/17 +1/19 -1/23 +1/25 -・・) - 1/2(1 -1/2 +1/4 -1/5 +1/7 -1/8 +1/10 -1/11 +1/13 -・・)
＝(1 -1/5 + 1/7 -1/11 +1/13 -1/17 +1/19 -1/23 +1/25 -・・) -1/2LA(1)
よって、結局、
(1 -1/5 + 1/7 -1/11 +1/13 -1/17 +1/19 -1/23 +1/25 -・・) ＝3/2LA(1)
となり、左辺は本質的に右辺と同じになります。
よって、左辺の級数はとくに意味のあるものではありませんでした。ここに訂正とさせていただきます。ご指摘いただいたSugimoto氏に感謝致します。
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