［１］３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」

［２］ラグランジュの定理（４平方和定理）

　任意の整数は４つの平方数の和で表される．

　ｎ＝□＋□＋□＋□

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［１］ｎ＝７（ｍｏｄ８）の表現には常に４つの平方数が必要である．

ｘ＝０（ｍｏｄ２）に対して，ｘ^2＝０，４（ｍｏｄ８）

ｘ＝１（ｍｏｄ２）に対して，ｘ^2＝１（ｍｏｄ８）

ゆえに，ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2≠７（ｍｏｄ８）

　ｇ（２）≧４が成り立つ．

［２］ｇ（２）＝４の証明には４平方恒等式が必要である．

　４平方和問題

（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2は

ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと成り立ち，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていることを示しています．

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