たとえば，正の整数ｎに対して，

　　ｎ＝ｋ1＋２ｋ2＋３ｋ3　　　（ｋ1≧０，ｋ2≧０，ｋ3≧０）

となる解（ｋ1，ｋ2，ｋ3）の個数をａnとします．

　このディオファントス方程式は，整数ｎは数１，２，３の加法によって何通りの方法で表されるのか，ただし和の順序は問題にしない・・・と同値です．

　ｎ＝５の場合，

　　1+1+1+1+1　→　（５，０，０）

　　1+1+1+2　　→　（３，１，０）

　　1+1+3　　　→　（２，０，１）

　　1+2+2　　　→　（１，２，０）

　　2+3　　　　→　（０，１，１）

ですから，ａ5＝５となります．

　　ａ0＝１，ａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝３，ａ4＝４，ａ5＝５，・・・

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【１】分割数の母関数

　このとき，母関数は

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n＝Σｘ^(k1+2k2+3k3)＝Σｘ^k1Σｘ^2k2Σｘ^3k3

　＝１／（１−ｘ）・１／（１−ｘ^2）・１／（１−ｘ^3）

となります．

　　（１−ｘ）（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）Σａnｘ^n＝１

ですから，各項の係数を比較すると漸化式

　　ａn＝ａn-1＋ａn-2−ａn-4−ａn-5＋ａn-6

を得ることができます．

　　ａ6＝７，ａ7＝８，ａ8＝１０，ａ9＝１２，ａ10＝１４，ａ11＝１６，・・・

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【２】母関数の部分分数展開

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n＝Σｘ^(k1+2k2+3k3)＝Σｘ^k1Σｘ^2k2Σｘ^3k3

　＝１／（１−ｘ）・１／（１−ｘ^2）・１／（１−ｘ^3）

の部分分数展開により，ａnを簡単に計算することができるが，それにより依りよい結果も得られます．（ωを１の原始３乗根とすると１＋ω＋ω^2＝１）

（１−ｘ）（１−ｘ^2）（１−ｘ^3）＝（１−ｘ）^3（１＋ｘ）（１−ωｘ）（１−ω^2ｘ）

部分分数展開

ｆ（ｘ）＝α1／（１−ｘ）＋α2／（１−ｘ）^2＋α3／（１−ｘ）^3＋β／（１＋ｘ）＋γ／（１−ωｘ）＋δ／（１−ω^2ｘ）

α1＝１７／７２，α2＝１／４，α3＝１／６，β＝１／８，γ＝δ＝１／９

ｘ＝０で展開すれば

ｆ（ｘ）＝Σ｛１７／７２＋（ｎ＋１）／４＋（ｎ＋１）（ｎ＋２）／１２＋（−１）^n／８＋（ω^n＋ω^-n）／９｝ｘ^n

したがって，

ａn＝（ｎ^2＋６ｎ＋９）／１２−７／７２＋（−１）^n／８＋（ω^n＋ω^-n）／９

＝（ｎ＋１）^2／１２＋λn

λn≦７／７２＋１／８＋１／９＜１／２

ゆえに，

ａn〜（ｎ＋３）^2／１２

ａnは（ｎ＋３）^2／１２に最も近い整数である．

　たとえば，ｎ＝４に対して，

ａ4〜４９／１２→ａn＝４

　　1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2

ｎ＝５に対して

ａ5〜６４／１２→ａn＝５

　　1+1+1+1+1，1+1+1+2，1+1+3，1+2+2，2+3

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