マルコフ数は２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解として現れる．

　大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式であるが，ここで３元２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・を並べると，各解は他の３つの解に相隣り合い，２分木のように配置する．真の２分木なのか，同じ値が２つの別のルートから生成されることがあり得るかは有名な未解決問題である．

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【１】マルコフ予想

　（ｐ，ｑ，ｒ），（ｐ’，ｑ’，ｒ’）をともに整数解とし，ｐ≦ｑ≦ｒ，ｐ’≦ｑ’≦ｒ’と仮定する．このとき，ｒ＝ｒ’ならば，ｐ＝ｐ’かつｑ＝ｑ’である．

　この予想，すなわち，同じ値が２つの別のルートから生成されることがあり得るかはどうかは今日でも有名な未解決問題である．

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【２】補足

［１］１≦ｘ≦ｙ≦ｚとしても一般性は失われない．

　　ｚ＝ｘｙ／２・｛３±（９−４／ｘ^2−４／ｙ＾２）^1/2｝

であり，（ｘ，ｙ）＝（１，１）からスタートすると

　　→ｚ^2＋２＝３ｚ→ｚ＝１，２→（１，１，１），（１，１，２）

（ｘ，ｙ）＝（１，２）からスタートすると→ｚ＝１，５→（１，１，２），（１，２，５）

　　（ｘ，ｙ）＝（１，１）→ｚ＝１，２

　　（ｘ，ｙ）＝（１，２）→ｚ＝１，５

　　（ｘ，ｙ）＝（１，５）→ｚ＝２，１３

　　（ｘ，ｙ）＝（２，５）→ｚ＝１，２９

［２］一般に（ａ，ｂ，ｃ）からスタートすると

（ａ，ｃ，３ａｃ−ｂ），ａ≦ｃ≦３ａｃ−ｂ

（ｂ，ｃ，３ｂｃ−ａ），ｂ≦ｃ≦３ｂｃ−ａ

も解となる．すると（１，１，１）には親がいないことになる．

［３］すべての解は特異解（１，１，１），（１，１，２）から生成される．

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