■パラメータ解? (その85)

d=(z2+3w^2)^2+(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw-3yz)

でなく

d=(z2+3w^2)^2+(x^2+3y^2)(xz+3yw-3xw+3yz)

としてみる.

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a=-(x^2+3y^2)^2+(z^2+3w^2)(xz+3yw+3xw-3yz),

b=(x2+3y^2)^2-(z^2+3w^2)(xz+3yw-3xw+3yz),

c=(z^2+3w^2)^2-(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw-3yz),

d=(z2+3w^2)^2+(x^2+3y^2)(xz+3yw-3xw+3yz)

A=(x^2+3y^2)

B=(z^2+3w^2)

C=(xz+3yw+3xw-3yz)

D=(xz+3yw-3xw+3yz)

E=(xz+3yw-3xw+3yz)とおく.

a=-A^2+BC,

b=A^2-BD,

c=B^2-AC,

d=B^2+AE

a^3=-A^6+3A^4BC-3A^2B^2C^2+B^3C^3

b^3=A^6-3A^4BD+3A^2B^2D^2-B^3D^3

c^3=B^6-3B^4AC+3A^2B^2C^2-A^3C^3

d^3=B^6+3B^4AE+3A^2B^2E^2+A^3E^3

a^3+b^3=3A^4B(C-D)-3A^2B^2(C^2-D^2)+B^3(C^3-D^3)

C-D=6xw-6yz

C+D=2xz+6yw

C^2+CD+D^2=(xz+3yw+3xw-3yz)^2

+(xz+3yw+3xw-3yz)(xz+3yw-3xw+3yz)

+(xz+3yw-3xw+3yz)^2

=2(xz+3yw)^2+2(3xw-3yz)^2

 +(xz+3yw)^2-(3xw-3yz)^2

=3(xz+3yw)^2+(3xw-3yz)^2

d^3-c^3=3B^4A(E+C)+3A^2B^2(E^2-C^2)+A^3(E^3+C^3)

E+C=2xz+6yw

E-C=-6xw+6yz

E^2-EC+C^2=(xz+3yw-3xw+3yz)^2-(xz+3yw-3xw+3yz)(xz+3yw+3xw-3yz)+(xz+3yw+3xw-3yz)^2

=2(xz+3yw)^2+2(3xw-3yz)^2

 -(xz+3yw)^2+(3xw-3yz)^2

=(xz+3yw)^2+3(3xw-3yz)^2

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F=xz+3yw

G=3xw-3yz

とおくと,

C-D=2G

C+D=2F

C^2+CD+D^2=3F^2+G^2

a^3+b^3=6A^4BG-12A^2B^2FG+2B^3G(3F^2+G^2)

=6A^4BG-12A^2B^2FG+6B^3F^2G+2B^3G^3

F=xz+3yw

G=3xw-3yz

とおくと,

E+C=2xz+6yw=2F

E-C=-6xw+6yz=-2G

E^2-EC+C^2=F^2+3G^2

d^3-c^3=3B^4A(E+C)+3A^2B^2(E^2-C^2)+A^3(E^3+C^3)

=6B^4AF-12A^2B^2FG+2A^3F^3+6A^3FG^3

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