前回送った結果の継続的な結果が出ましたので報告します。前回のA,Bの一般式が出ました。

A(a)=1/(1^4+a^2) + 1/(3^4+ a^2) + 1/(5^4+a^2) + 1/(7^4+a^2) + ・・

B(a)=1/(1^4+a^2) + 3^2/(3^4+a^2) + 5^2/(5^4+a^2) + 7^2/(7^4+a^2)+・・

これらの正体は、次となります。

　A(a)=α/(4a^2)(sinhα - sinα)/(coshα + cosα)

　B(a)=α/(4a)(sinhα + sinα)/(coshα + cosα)

　ここで、α=π√(a/2)　です。

　a=3として数値検証しましたが、正しいです。a=1とすれば、下方メール中のA,Bとなります。

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　これまで私は長くA(a)のような形を出したい！と思っていたのに出せなかったのですが、今回出すことができうれしく思っています。

A(a)=1/(1^4+a^2) + 1/(3^4+ a^2) + 1/(5^4+a^2) + 1/(7^4+a^2) + ・・

が出れば、

1/(1^8+a^2) + 1/(3^8+ a^2) + 1/(5^8+a^2) + 1/(7^8+a^2) + ・・

を出すことが”原理的に”可能になります。A(a)のaに複素数i^0.5を代入すると出ることになります）。しかし計算は非常に大変になります。現在^8を計算している途中ですが、本当にたいへんです。

その結果は”最後には”A(a)のように美しい結果になるはずです。が、まだその麗しい姿が見えません。見えたら報告しますが、大変です。

　なお「なぜ^8より先に^6を求めないのか？」と思われているかもしれません。

1/(1^6+a^2) + 1/(3^6+ a^2) + 1/(5^6+a^2) + 1/(7^6+a^2) + ・・

現時点での私の見解では、この^6を明示的な形で出すことは無理なのではないか？と思っています。そこには「奇数ゼータ」が明示的に表現できないのと同じ困難が横たわっている気がするからです。ですから、その困難を迂回して^4の次は^8をやっています。

リーマンゼータζ(s)で明示的に表現できるのは（テイラーシステムで見るとその理由がよくわかりますが）、偶数ζ(2n)のときだけです。それと同じことが、ゼータの香りの漂う公式でも起こっているようなのです。ふしぎですし、面白いことです。　　（杉岡幹生）

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