■パラメータ解? (その83)

 (その80)に誤りあり.

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a=-(x^2+3y^2)^2+(z^2+3w^2)(xz+3yw+3xw-3yz),

b=(x2+3y^2)^2-(z^2+3w^2)(xz+3yw-3xw+3yz),

c=(z^2+3w^2)^2-(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw-3yz),

d=(z2+3w^2)^2+(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw-3yz)

A=(x^2+3y^2)

B=(z^2+3w^2)

C=(xz+3yw+3xw-3yz)

D=(xz+3yw-3xw+3yz)とおく.

a=-A^2+BC,

b=A^2-BD,

c=B^2-AC,

d=B^2+AC

a^3=-A^6+3A^4BC-3A^2B^2C^2+B^3C^3

b^3=A^6-3A^4BD+3A^2B^2D^2-B^3D^3

c^3=B^6-3B^4AC+3A^2B^2C^2-A^3C^3

d^3=B^6+3B^4AC+3A^2B^2C^2+A^3C^3

a^3+b^3=3A^4B(C-D)-3A^2B^2(C^2-D^2)+B^3(C^3-D^3)

C-D=6xw-6yz

C+D=2xz+6yw

C^2+CD+D^2=(xz+3yw+3xw-3yz)^2

+(xz+3yw+3xw-3yz)(xz+3yw-3xw+3yz)

+(xz+3yw-3xw+3yz)^2

=2(xz+3yw)^2+2(3xw-3yz)^2

 +(xz+3yw)^2-(3xw-3yz)^2

=3(xz+3yw)^2+(3xw-3yz)^2

E=xz+3yw

F=3xw-3yz

とおくと,

C-D=2F

C+D=2E

C^2+CD+D^2=3E^2+F^2

a^3+b^3=2A^4BF-12A^2B^2EF+2B^3F(3E^2+F^2)

=2A^4BF-12A^2B^2EF+6B^3E^2F+2B^3F^3

d^3-c^3=6B^4AC+2A^3C^3

=3AC(2B^4+A^2C^2)

C=E+Fより,

=3A(E+F){2B^4+A^2(E^2+2EF+F^2)}

=3A(E+F){2B^4+A^2E^2+2A^2EF+A^2F^2)

=6AB^4E+3A^3E^3+6A^3E^2F+3A^3EF^2

+6AB^4F+3A^3E^2F+6A^3EF^2+3A^3F^3

合致しない.これが合致しないとオイラー解とラマヌジャン解の関係がわからない.

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